Question

已知：半圓O的半徑OA=4，P是OA延長線上一點，過線段OP的中點B作垂線交⊙O于點C，射線PC交⊙O于點D，連接OD．
（1）若，求弦CD的長．
（2）若點C在上時，設PA=x，CD=y，求y與x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍；
（3）設CD的中點為E，射線BE與射線OD交于點F，當DF=1時，請直接寫出tan∠P的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，得出∠DOC=∠AOC，進而求出PC=OC，以及△DOC∽△DPO，再利用相似三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）作OE⊥CD，求出△PBC∽△PEO，進而得出=，即可求出y與x的關系式；
（3）分別利用若點D在外部時，以及利用若點D在上時，利用等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關系得出tan∠P的值即可．
解答：解：（1）連接OC，如圖1，
∵，
∴∠DOC=∠AOC，
又∵BC垂直平分OP，
∴PC=OC，
而OA=4，
∴CP=OC=4，
∴∠P=∠POC，
∴∠CPO=∠COD，
而∠PDO=∠ODC，
∴△DOC∽△DPO，
∴DC：OD=OD：DP，即OD²=DC•DP，
∴DC（DC+4）=16，
∴CD=2-2；

（2）作OE⊥CD，垂足為E，如圖1，
則CE=CD=y，
∵∠P=∠P，∠PBC=∠PEO=90°，
∴△PBC∽△PEO，
∴=，
而PB=OP=（x+4），PE=PC+CE=4+y，
∴，
∴y=x²+2x-4（4-4＜x＜4）；

（3）若點D在外部時，
連接OC和OE．
顯然可以得：Rt△CBP≌Rt△CBO，
∴∠CPB=∠COB=x（不妨設其大小為x）
∴∠DCO=2x．（三角形外角的性質(zhì)定理），
同時，PC=OC=R=4，
∵CE=DE（已知）
∴由垂徑定理可知：OE⊥CD，
在△Rt△OEC和Rt△OED中，
∵，
∴Rt△OEC≌Rt△OED （SSS）
∴∠ODC=∠OCD=2x．
同時，由銳角三角函數(shù)定義，
在Rt△OPE中．
tan∠APD=，
∵∠CBO=∠CEO=90°，
∴四點B，C，E，O四點共圓，
∴由同圓中，同弧上的圓周角相等可知
∠BEC=∠BOC=x，
∴∠DEF=∠BEC（對頂角相等）=∠BOC=x．
在△DEF中，由三角形外角性質(zhì)定理，
∠ODC=∠F+∠DEF，
∴2x=∠F+x，
∴∠F=x．
∴△DEF為等腰三角形，
CE=DE=DF=1．
∴PE=PC+CE=4+1=5，
在Rt△ODE中，DE=1，OD=R=4，
∴由勾股定理可得OE=，
∴tan∠P==，
若點D在上時，
同理可知 CE=DE=DF=1，PC=OC=r=4，
故PE=3，OE=，
則tan∠P==．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和四點共圓以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結合以及分類討論得出是解題關鍵．