Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC ．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)O作OF∥AD，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F．若OB =2，求 OE和CF的長．

Answer 1

（1）連結(jié)OD，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=90°，即可求得∠ABD=60°，從而可以求得∠BDC=，即可證得△ODB是等邊三角形，則可得∠ODC=90°，問題得證；（2），

解析試題分析：（1）連結(jié)OD，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=90°，即可求得∠ABD=60°，從而可以求得∠BDC=，即可證得△ODB是等邊三角形，則可得∠ODC=90°，問題得證；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠OED=90°，根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)勾股定理可求得OE的長，然后根據(jù)∠DOC、∠DOF的正切函數(shù)即可求得CD、DF的長，從而可以求得結(jié)果.
（1）連結(jié)OD

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°．
∵∠ABD=2∠BDC，
∴∠BDC=．
∵OD=OB，
∴△ODB是等邊三角形．
∴∠ODB=60°．
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°．
∴CD是⊙O的切線；
（2）∵OF∥AD，∠ADB=90°，
∴∠OED=90°
∵BD=OB=2，
∴．
∴．
∵OD=OB=2，∠DOC=60°，∠DOF=30°，
∴，．
∴．
考點(diǎn)：圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，平行線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義
點(diǎn)評(píng)：此類問題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，在中考中比較常見，一般難度不大，需熟練掌握.