Question

【題目】若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，且其中一個(gè)等腰三角形的底角是另一個(gè)等腰三角形底角的2倍，我們把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的黃金線，這個(gè)四邊形叫做黃金四邊形．
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD=DC，對(duì)角線AC，BD都是黃金線，且AB＜AC，CD＜BD，求四邊形ABCD各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；
（2）如圖2，點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)凇袿上找出所有的點(diǎn)D，使四邊形ABCD的對(duì)角線AC是黃金線（要求：保留作圖痕跡）；
（3）在黃金四邊形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC是黃金線，

∴△ABC是等腰三角形，

∵AB＜AC，

∴AB=BC或AC=BC，

①當(dāng)AB=BC時(shí)，

∵AB=AD=DC，

∴AB=BC=AD=DC，

又∵AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，

此種情況不符合黃金四邊形定義，

②AC=BC，

同理，BD=BC，

∴AC=BD=BC，易證得△ABD≌△DAC，△CAB≌△BDC，

∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA，

且∠DCA＜∠DCB，

∴∠DAC＜∠CAB

又由黃金四邊形定義知：∠CAB=2∠DAC，

設(shè)∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，

則∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，

∴∠DAB=∠ADC=3x°，

而四邊形的內(nèi)角和為360°，

∴∠DAB=∠ADC=108°，∠BCD=∠CBA=72°，

答：四邊形ABCD各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為108°，72°，108°，72°．

（2）解：由題意作圖為：

（3）解：∵AB=BC，∠BAC=30°，

∴∠BCA=∠BAC=30°，∠ABC=120°，

�。┊�(dāng)AC為黃金線時(shí)，

∴△ACD是等腰三角形，

∵AB=BC=CD，AC＞BC，

∴AD=CD或AD=AC，

當(dāng)AD=CD時(shí)，則AB=BC=CD=AD，

又∵AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，如圖3，此種情況不符合黃金四邊形定義，

∴AD≠CD，

當(dāng)AD=AC時(shí)，由黃金四邊形定義知，∠ACD=∠D=15°或60°，

此時(shí)∠BAD=180°（不合題意，舍去）或90°（不合題意，舍去）；

ⅱ）當(dāng)BD為黃金線時(shí)，

∴△ABD是等腰三角形，

∵AB=BC=CD，

∴∠CBD=∠CDB，

①當(dāng)AB=AD時(shí)，△BCD≌△BAD，

此種情況不符合黃金四邊形定義；

②當(dāng)AB=BD時(shí)，AB=BD=BC=CD，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠CBD=60°，

∴∠A=30°或120°（不合題意，舍去），

∴∠ABC=180°（不合題意，舍去），

此種情況也不符合黃金四邊形定義；

③當(dāng)AD=BD時(shí)，設(shè)∠CBD=∠CDB=y°，則∠ABD=∠BAD=（2y）°或 ，

∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°，

當(dāng)∠ABD=2y°時(shí)，y=40，

∴∠BAD=2y=80°；

當(dāng) 時(shí)，y=80，

∴ ；

綜上所述：∠BAD的度數(shù)為40°，80°．

【解析】（1））先由對(duì)角線AC是黃金線，可知△ABC是等腰三角形，分兩種情況：①AB=BC，②AC=BC，第一種情況不成立，②設(shè)∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，則∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，∠DAB=∠ADC=3x°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和列等式可得x的值，計(jì)算各角的度數(shù)；（2）①以A為圓心，AC為半徑畫(huà)弧，交圓O于D1 ， ②以C為圓心，AC為半徑畫(huà)弧，交圓O于D2 ， ③連接AD1、CD1、AD2、CD2；（3）先根據(jù)∠BAC=30°，計(jì)算∠ABC=120°，分情況進(jìn)行討論：ⅰ）當(dāng)AC為黃金線時(shí)，則AD=CD或AD=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及黃金四邊形定義進(jìn)行計(jì)算即可；ⅱ）當(dāng)BD為黃金線時(shí)，分三種情況： ①當(dāng)AB=AD時(shí)；②當(dāng)AB=BD時(shí)，③當(dāng)AD=BD時(shí)，分別討論即可．