Question

如圖，已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．

(1)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式；

(2)設直線BC交y軸于點E，連接AE，求證：AE=CE;

(3)設拋物線與y軸交于點D，連接AD交BC于點F，試問以A、B、F，為頂點的三角形與△ABC相似嗎？

 請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵拋物線經(jīng)過A(－4，0)、B(1，0)，∴設函數(shù)解析式為：y=a（x＋4）（x－1）。

又∵由拋物線經(jīng)過C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=－1。

      ∴經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式為：y=－（x＋4）（x－1），即y=－x²－3x＋4。

（2）證明：設直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，

由題意得： ，解得：。

∴直線BC的解析式為y=－2x+2．

∴點E的坐標為（0，2）。

∴。

∴AE=CE。

（3）相似。理由如下：

設直線AD的解析式為y=k₁x+b₁，則 ，解得：。

∴直線AD的解析式為y=x+4。

聯(lián)立直線AD與直線BC的函數(shù)解析式可得：，解得：。

∴點F的坐標為（ ）。

則。

又∵AB=5，，

∴�！�。

又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。

∴以A、B、F為頂點的三角形與△ABC相似。

【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，勾股定理，相似三角形的判定。

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可得出拋物線的解析式。

（2）求出直線BC的函數(shù)解析式，從而得出點E的坐標，然后分別求出AE及CE的長度即可證明出結論。

（3）求出AD的函數(shù)解析式，然后結合直線BC的解析式可得出點F的坐標，根據(jù)勾股定理分別求出BF，BC 得出；由題意得∠ABF=∠CBA， 即可作出判斷。