【題目】已知拋物線的解析式為y=﹣ x2+bx+5.
(1)當(dāng)自變量 x≥2時(shí),函數(shù)值y 隨 x的增大而減少,求b 的取值范圍;
(2)如圖,若拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5),與x 軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x 軸交于B.

①求拋物線的解析式;
②在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠PAB=∠ABC?若存在,求出點(diǎn)P 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為:x=10b,

由題意可知:x≥2時(shí),函數(shù)值y 隨 x的增大而減少,

∴10b≤2,

∴b≤


(2)

解:①將A(2,5)代入拋物線的解析式中,

∴5=﹣ ×4+2b+5,

∴b= ,

∴拋物線的解析式為:y=﹣ x2+ x+5,

②由于∠PAB=∠ABC,

當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí),

此時(shí)∠PAB=∠ABC,

∴PA∥BC,

∴P的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)相同,

∴P(0,5),

當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí),

連接AP并延長(zhǎng)交x軸于E,

此時(shí)∠PAB=∠ABC

∴AE=BE,

過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F,

∵B(1,0),A(2,5),

∴AG=5,BG=1,

∴由勾股定理可知:AB= ,

∵AE=BE,EF⊥AB,

∴BF= AB=

∵cos∠ABC= = ,

∴cos∠ABC= = ,

∴BE=13,

∴GE=BE﹣BG=12,

∴tan∠PEG= = ,

設(shè)P(x,﹣ x2+ x+5),

∵E(14,0),

∴HE=14﹣x,PH=﹣ x2+ x+5,

∴tan∠PEG= = ,

= ,

解得:x=2(舍去)或x= ,

∴P( ,

綜上所述,P(0,5)或P( ,


【解析】(1)由題意可知:對(duì)稱(chēng)軸只需要小于或等于2即可,從而可求出b的范圍;(2)①將A代入拋物線解析式即可求出b的值.②由于∠PAB=∠ABC,且P在拋物線上,故需要對(duì)P的位置進(jìn)行分類(lèi)討論即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而減小,以及對(duì)勾股定理的概念的理解,了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2

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B.想去龍州縣紅八軍紀(jì)念館參觀的學(xué)生有12人
C.想去龍州縣紅八軍紀(jì)念館參觀的學(xué)生肯定最多
D.想去龍州縣紅八軍紀(jì)念館參觀的學(xué)生占全班學(xué)生的

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