【題目】已知拋物線的解析式為y=﹣ x2+bx+5.
(1)當(dāng)自變量 x≥2時(shí),函數(shù)值y 隨 x的增大而減少,求b 的取值范圍;
(2)如圖,若拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5),與x 軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x 軸交于B.
①求拋物線的解析式;
②在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠PAB=∠ABC?若存在,求出點(diǎn)P 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為:x=10b,
由題意可知:x≥2時(shí),函數(shù)值y 隨 x的增大而減少,
∴10b≤2,
∴b≤
(2)
解:①將A(2,5)代入拋物線的解析式中,
∴5=﹣ ×4+2b+5,
∴b= ,
∴拋物線的解析式為:y=﹣ x2+ x+5,
②由于∠PAB=∠ABC,
當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí),
此時(shí)∠PAB=∠ABC,
∴PA∥BC,
∴P的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)相同,
∴P(0,5),
當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí),
連接AP并延長(zhǎng)交x軸于E,
此時(shí)∠PAB=∠ABC
∴AE=BE,
過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F,
∵B(1,0),A(2,5),
∴AG=5,BG=1,
∴由勾股定理可知:AB= ,
∵AE=BE,EF⊥AB,
∴BF= AB= ,
∵cos∠ABC= = ,
∴cos∠ABC= = ,
∴BE=13,
∴GE=BE﹣BG=12,
∴tan∠PEG= = ,
設(shè)P(x,﹣ x2+ x+5),
∵E(14,0),
∴HE=14﹣x,PH=﹣ x2+ x+5,
∴tan∠PEG= = ,
即 = ,
解得:x=2(舍去)或x= ,
∴P( , )
綜上所述,P(0,5)或P( , )
【解析】(1)由題意可知:對(duì)稱(chēng)軸只需要小于或等于2即可,從而可求出b的范圍;(2)①將A代入拋物線解析式即可求出b的值.②由于∠PAB=∠ABC,且P在拋物線上,故需要對(duì)P的位置進(jìn)行分類(lèi)討論即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而減小,以及對(duì)勾股定理的概念的理解,了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一副三角尺按如圖的位置擺放(頂點(diǎn)C 與F 重合,邊CA與邊FE疊合,頂點(diǎn)B、C、D在一條直線上).將三角尺DEF繞著點(diǎn)F按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n°后(0<n<180 ),如果EF∥AB,那么n的值是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為解決中小學(xué)大班額問(wèn)題,東營(yíng)市各縣區(qū)今年將改擴(kuò)建部分中小學(xué),某縣計(jì)劃對(duì)A、B兩類(lèi)學(xué)校進(jìn)行改擴(kuò)建,根據(jù)預(yù)算,改擴(kuò)建2所A類(lèi)學(xué)校和3所B類(lèi)學(xué)校共需資金7800萬(wàn)元,改擴(kuò)建3所A類(lèi)學(xué)校和1所B類(lèi)學(xué)校共需資金5400萬(wàn)元.
(1)改擴(kuò)建1所A類(lèi)學(xué)校和1所B類(lèi)學(xué)校所需資金分別是多少萬(wàn)元?
(2)該縣計(jì)劃改擴(kuò)建A、B兩類(lèi)學(xué)校共10所,改擴(kuò)建資金由國(guó)家財(cái)政和地方財(cái)政共同承擔(dān).若國(guó)家財(cái)政撥付資金不超過(guò)11800萬(wàn)元;地方財(cái)政投入資金不少于4000萬(wàn)元,其中地方財(cái)政投入到A、B兩類(lèi)學(xué)校的改擴(kuò)建資金分別為每所300萬(wàn)元和500萬(wàn)元.請(qǐng)問(wèn)共有哪幾種改擴(kuò)建方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn),則△ADE與△ABC的面積比S△ADE:S△ABC= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,CD是AB邊上的中線,E是CD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BF.
(1)求證:CF=AD;
(2)若CA=CB,∠ACB=90°,試判斷四邊形CDBF的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+2mx(m>0)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.過(guò)點(diǎn)P(1,m)作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)B,記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C(點(diǎn)B,點(diǎn)C不重合).連接CB,CP.
(1)當(dāng)m=3時(shí),求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng);
(2)當(dāng)m>1時(shí),連接CA,問(wèn)m為何值時(shí)CA⊥CP?
(3)當(dāng)m>1時(shí)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PC且PE=PC,問(wèn)是否存在m,使得點(diǎn)E落在坐標(biāo)軸上?若存在,求出所有滿足要求的m的值,并定出相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市某中學(xué)八年級(jí)一班準(zhǔn)備在“七一”組織參加紅色旅游,班長(zhǎng)把全班48名同學(xué)對(duì)旅游地點(diǎn)的意向繪制成了扇形統(tǒng)計(jì)圖,其中“想去我市龍州縣紅八軍紀(jì)念館參加的學(xué)生數(shù)”的扇形圓心角為60°,則下列說(shuō)法中正確的是( )
A.想去龍州縣紅八軍紀(jì)念館參加的學(xué)生占全班學(xué)生的60%
B.想去龍州縣紅八軍紀(jì)念館參觀的學(xué)生有12人
C.想去龍州縣紅八軍紀(jì)念館參觀的學(xué)生肯定最多
D.想去龍州縣紅八軍紀(jì)念館參觀的學(xué)生占全班學(xué)生的
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F.
(1)求證:AB=AC;
(2)若AD=2 ,∠DAC=30°,求AC的長(zhǎng).
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