Question

圓心角定理是“圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等”，記作∠AOB=

1

2

(

AB

+

CD)

（如圖①）；
圓心角定理也可以敘述成“圓心角度數(shù)等于它所對的弧及圓心角的對頂角所對的弧的和的一半”，
記作∠AOB=

1

2

（弧AB的度數(shù)+弧CD的度數(shù)）（如圖①）
請回答下列問題：
（1）如圖②，猜測∠APB與

AB

、

CD

有怎樣的等量關系，并說明理由；
（2）如圖③，猜測∠APB與

AB

、

CD

有怎樣的等量關系，并說明理由．
（提示：“兩條平行弦所夾的弧相等”可當定理用）

Answer 1

分析：（1）過O點分別作EF∥AC，MN∥BD交⊙0于E、F、M、N，根據(jù)“圓心角度數(shù)等于它所對的弧及圓心角的對頂角所對的弧的和的一半”，以及在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，可證得∠APB=

1

2

(

AB

+

CD)

．
（2）過O點分別作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N，根據(jù)“圓心角度數(shù)等于它所對的弧及圓心角的對頂角所對的弧的和的一半”，以及在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，可證得）∠APB=

1

2

（

AB

-

CD

）．

解答：解：（1）∠APB=

1

2

(

AB

+

CD)

．
理由如下：
過O點分別作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N，
∴∠APB=∠EOM，

AE

=

CF

，

BM

=

DN，

∴

AB

+

CD

=

EM

+

NF

∵∠EOM=

1

2

(

EM

+

NF

)
∴∠APB=

1

2

(

AB

+

CD)

．

（2）∠APB=

1

2

（

AB

-

CD

）．
理由如下：
過O點分別作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N，
∴∠APB=∠EOM，

AE

=

CF

，

BM

=

DN，

∴

AB

-

CD

=

EM

+

NF

，
∵∠EOM=

1

2

(

EM

+

NF

)，
∴∠APB=

1

2

（

AB

-

CD

）．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了兩條平行弦所夾的弧相等．