Question

如圖，拋物線F：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為P，拋物線F與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，平移拋物線F使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D得到拋物線F′：y=a′x²+b′x+c′，拋物線F′與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
（1）當(dāng)a=1，b=-2，c=3時(shí)，①寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)______； ②求b：b′的值；
（2）若a、b、c滿足b²=ac，探究b：b′的值是否為定值？若是定值請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①已知PD⊥x軸，那么點(diǎn)P、D必在拋物線F的對(duì)稱軸上，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)可直接寫成（-，0）；
②兩個(gè)拋物線的開口方向和開口大小都相同，那么a=a′；它們與y軸交于同一點(diǎn)，那么c=c′；將D的坐標(biāo)代入拋物線F′的解析式中，先求出b′，再求b：b′的值．
（2）思路同②，先確定a=a′、c=c′，然后代入D點(diǎn)坐標(biāo)，將所得式子進(jìn)行適當(dāng)變形，即可得到b：b′的值．
解答：解：（1）①∵P點(diǎn)是拋物線F的頂點(diǎn)，且PD⊥x軸，
∴D（-，0），即 D（1，0）．
②∵拋物線F和拋物線F′的開口方向、開口大小相同，與y軸的交點(diǎn)相同，
∴a=a′=1，c=c′=3；
已知拋物線F′：y=x²+b′x+3經(jīng)過(guò)D（1，0），得：
1+b′+3=0，即 b′=-4
∴b：b′=（-2）：（-4）=1：2；
故答案：①（1，0）；②1：2．

（2）由（1）②知：a=a′、c=c′；
∴拋物線F′：y=ax²+b′x+c，代入點(diǎn)D（-，0），得：
a（-）²+b′（-）+c=0，
化簡(jiǎn)，得：=
左右兩邊都除以2ab²，得：=
代入b²=ac，得：=．
點(diǎn)評(píng)：該題主要考查的是函數(shù)圖象的平移問題，弄清楚拋物線在平移過(guò)程中，各系數(shù)的變化情況是解答此類問題的關(guān)鍵所在．