Question

已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BC在x軸上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B（-1，0），P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與點(diǎn)A、C不重合）

（1）（2分）求點(diǎn)A、E的坐標(biāo)；
（2）（2分）若y=過(guò)點(diǎn)A、E，求拋物線的解析式。
（3）（5分）連結(jié)PB、PD，設(shè)L為△PBD的周長(zhǎng)，當(dāng)L取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及L的最小值，并判斷此時(shí)點(diǎn)P是否在（2）中所求的拋物線上，請(qǐng)充分說(shuō)明你的判斷理由

Answer 1

（1）E（0，）
（2）y=
（3）在解析:
解：（1）連結(jié)AD，不難求得A（1，2）
OE=，得E（0，）
（2）因?yàn)閽佄锞�y=過(guò)點(diǎn)A、E
由待定系數(shù)法得：c=，b=
拋物線的解析式為y=
（3）大家記得這樣一個(gè)常識(shí)嗎？
“牽牛從點(diǎn)A出發(fā)，到河邊l喝水，再到點(diǎn)B處吃草，走哪條路徑最短？”即確定l上的點(diǎn)P
方法是作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'B與l的交點(diǎn)P即為所求.
     
本題中的AC就是“河”，B、D分別為“出發(fā)點(diǎn)”和“草地”。
由引例并證明后，得先作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，
連結(jié)BD'交AC于點(diǎn)P，則PB與PD的和取最小值，

即△PBD的周長(zhǎng)L取最小值。
不難求得∠D'DC=30º
DF=，DD'=2
求得點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（4，）
直線BD'的解析式為：x+
直線AC的解析式為：
求直線BD'與AC的交點(diǎn)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)（，）。
此時(shí)BD'===2
所以△PBD的最小周長(zhǎng)L為2+2
把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=成立，所以此時(shí)點(diǎn)P在拋物線上。