Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E為CD邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足DF+BF=BC．若∠A=90°，AD=3，AB=5，BC=9，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：梯形,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）首先延長(zhǎng)DF、BE交于點(diǎn)G，進(jìn)而得出△EDG≌△ECB，即可得出AG，BG的長(zhǎng)；
（2）利用已知得出∠FBG=∠G，再利用∠G=∠EBC，得出∠FBG=∠EBC，進(jìn)而得出答案．

解答：（1）解：延長(zhǎng)DF、BE交于點(diǎn)G，
∵E為DC中點(diǎn)，
∴DE=CE，
∵AD∥BC，
∴DG∥BC，
∴∠D=∠EBC，∠GDE=∠C，
在△EDG與△ECB中，

∠G=∠EBC ∠GDE=∠C DE=EC

，
∴△EDG≌△ECB（AAS）
∴BC=DG，BE=GE，
∵BC=9，
∴DG=9，
又AD=3，
∴AG=AD+DG=3+9=12，
∴BG=

AB2+AG2

=13，
∴BE=EG，
∴BE=

1

2

BG=

13

2

；

（2）證明：由（1）得DG=BC，
∵DF+BF=BC，
∴DF+BF=DG，
∴BF=FG，
∴∠FBG=∠G，
又∵∠G=∠EBC，
∴∠FBG=∠EBC，
即BE平分∠FBC..

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，利用已知得出△EDG≌△ECB是解題關(guān)鍵．