Question

（2013•門頭溝區(qū)一模）已知：在△ABC中，AB=AC，點D為BC邊的中點，點F是AB邊上一點，點E在線段DF的延長線上，點M在線段DF上，且∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM．

（1）如圖1，當∠ABC=45°時，線段DM與AE之間的數量關系是

AE=

2

MD

；
（2）如圖2，當∠ABC=60°時，線段DM與AE之間的數量關系是

AE=2MD

；
（3）①如圖3，當∠ABC=α（0°＜α＜90°）時，線段DM與AE之間的數量關系是

DM=cosα•AE

；
②在（2）的條件下延長BM到P，使MP=BM，連結CP，若AB=7，AE=2

7

，求sin∠ACP的值．

Answer 1

分析：（1）首先連接AD，由AB=AC，∠ABC=45°，易得AB=

1

2

BD，又由∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，可證得△ABE∽△DBM，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得AE=

2

DM；
（2）由∠ABC=60°及△DBM∽△ABE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得MD=

1

2

AE，繼而可得AE=2MD；
（3）①由△DBM∽△ABE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得DM=cosαAE；
②首先連接AD，EP，設AD交CP于N，根據題意易證得△ABC是等邊三角形，△ABE∽△DBM，繼而可證得△BEP為等邊三角形，然后在Rt△AEB中，利用余弦函數的定義求出cos∠EAB=

2 7

7

，得出cos∠PCB=

2 7

7

，再解Rt△ABD，求出AD=

7 3

2

，解Rt△NDC，得到CN=

7 7

4

，ND=

7 3

4

，則NA=

7 3

4

，然后過N作NH⊥AC，垂足為H．解Rt△ANH，求出NH=

1

2

AN=

7 3

8

，然后利用三角函數的定義，即可求得sin∠ACP的值．

解答：解：（1）如圖1，連接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC，即AB=

2

BD．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴

AE

DM

=

AB

DB

，
∴AE=

2

MD；

（2）由（1）知△DBM∽△ABE，
∴

DM

AE

=

DB

AB

=cos∠ABC=cos60°=

1

2

，
∴MD=

1

2

AE，
∴AE=2MD；

（3）①由（1）知△DBM∽△ABE，
∴

DM

AE

=

DB

AB

=cos∠ABC=cosα，
∴DM=cosα•AE；
②如圖2，連接AD，EP，設AD交CP于N．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
又∵D為BC的中點，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=

1

2

AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴

BE

BM

=

AB

DB

=2，∠AEB=∠DMB，
∴BE=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP為等邊三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°．
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=2

7

，AB=7，
∴cos∠EAB=

2 7

7

，cos∠PCB=cos∠EAB=

2 7

7

．
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=

7 3

2

，
在Rt△NDC中，CN=

DC

cos∠NCD

=

7 7

4

，ND=

CN2-CD2

=

7 3

4

，
∴NA=AD-ND=

7 3

4

．
過N作NH⊥AC，垂足為H．
在Rt△ANH中，NH=

1

2

AN=

7 3

8

，
∴sin∠ACP=

NH

CN

=

21

14

．
故答案為AE=

2

MD；AE=2MD；DM=cosα•AE．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、等邊三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握轉化思想與數形結合思想的應用．