Question

如下圖，△ABC中，已知BAC =45，AD⊥BC于點D，BD =2，DC =3，求AD的長。小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題。
請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
（1）分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形；
（2）設AD=x，利用勾股定理，建立關于x的方程模型，求出x的值。

Answer 1

解：（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
 ∴DAB=EAB，DAC= FAC，
又BAC =45°，
∴EAF=90°，
又∵AD⊥BC，
∴E= ADB =90°  
同理F= ADC= 90°，
又∵AE =AD，AF= AD，
∴AE =AF，      
∴四邊形AEGF是正方形；     
（2）設AD =x，則AE =EC= GF =x，     
∵BD =2，DC=3，      
∴BE =2，CF=3，      
∴BG =x -2，CC=x -3，     
在Rt△BGC中，BC²+ CG²=BC²      
∴（x-2）²+（x-3）²=5²，     
化簡得，x²-5x -6 =0，      
解得x₁=6，x₂=-1（舍），      
所以AD=x=6。