【題目】如圖1，已知：矩形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，分別延長(zhǎng)AD至E，延長(zhǎng)CD至F，使得DE=AD，DF=CD．
（1）求證：四邊形ACEF為菱形．
（2）如圖2，過(guò)E作EG⊥AC的延長(zhǎng)線于G，若AG=8，cos∠ECG= ，則AD= （直接填空）、

【答案】
（1）證明：∵DE=AD，DF=CD．

∴四邊形ACEF是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，

∴AE⊥CF，

∴四邊形ACEF是菱形；


（2）2
【解析】（2）解：∵四邊形ACEF是菱形， ∴AC=CE，AD=ED，
∵EG⊥AC，cos∠ECG= = ，
∴CG= CE= AC，
∵AG=AC+CG=8，
∴CG=3，CE=AC=5，
∴EG= =4，
在Rt△AEG中，AE= = =4 ，
∴AD= AE=2 ；
故答案為：2 ．
（1）先證明四邊形ACEF是平行四邊形，再由矩形的性質(zhì)證出AE⊥CF，即可得出四邊形ACEF是菱形；（2）由菱形的性質(zhì)得出AC=CE，AD=ED，與三角函數(shù)得出CG= CE= AC，得出CG=3，CE=AC=5，由勾股定理求出EG= =4，在Rt△AEG中，由勾股定理求出AE= =4 ，即可得出AD的長(zhǎng)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在△ABD中，AB=4cm，AD=6cm，AF平分∠BAD，點(diǎn)C在AD上，BC⊥AF于點(diǎn)F．若點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，則EF= ．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△A1A2A3 ， △A3A4A5 ， △A5A6A7 ， △A7A8A9 ， …，都是等邊三角形，且點(diǎn)A1 ， A3 ， A5 ， A7 ， A9的坐標(biāo)分別為A1（3，0），A3（1，0），A5（4，0），A7（0，0），A9（5，0），依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，則A100的坐標(biāo)為 ．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），將△AOB沿x軸向右平移得到△A′O′B′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好在函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，此時(shí)點(diǎn)A移動(dòng)的距離為 ．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】閱讀下面材料： 小明遇到這樣兩個(gè)問(wèn)題：

（1）如圖1，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為D，BC=﹣6，求OD的長(zhǎng)；
（2）如圖2△ABC中，AB=6，AC=4，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍． 對(duì)于問(wèn)題（1），小明發(fā)現(xiàn)根據(jù)垂徑定理，可以得出點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理可以解決；對(duì)于問(wèn)題（2），小明發(fā)現(xiàn)延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE，可以得到全等三角形，通過(guò)計(jì)算可以解決．

請(qǐng)回答：
問(wèn)題（1）中OD長(zhǎng)為；問(wèn)題（2）中AD的取值范圍是；
參考小明思考問(wèn)題的方法，解決下面的問(wèn)題：
（3）如圖3，△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，BE與CD相交于點(diǎn)F，AC=mEC，AB=2 EC，AD=nDB．
①當(dāng)n=1時(shí)，如圖4，在圖中找出與CE相等的線段，并加以證明；

②直接寫(xiě)出 的值（用含m、n的代數(shù)式表示）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1所示，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，D為拋物線的頂點(diǎn)，E為拋物線上一點(diǎn)，且C、E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，分別作直線AE、DE．

（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）在圖1中，直線DE上有一點(diǎn)Q，使得△QCO≌△QBO，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如圖2，直線DE與x軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)M為線段AF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，有A向F運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)到F處停止，點(diǎn)N由F處出發(fā)，沿射線FE方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度，M、N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)M停止時(shí)點(diǎn)N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，t為何值時(shí)，以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是特殊的平行四邊形．請(qǐng)直接寫(xiě)出t值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分線分別與AC、BC及AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D、E、F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圓，連接BD．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）求證：DEAC=BECE．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線m∥n，點(diǎn)C是直線m上一點(diǎn)，點(diǎn)D是直線n上一點(diǎn)，CD與直線m、n不垂直，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖①所示），連接PB，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系： ．
（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的位置，試問(wèn)（1）中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）延伸探究：在圖②的情況下，把直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得∠APB=90°（如圖③所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k．求證：PAPB=kAB．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】大學(xué)畢業(yè)生小王響應(yīng)國(guó)家“自主創(chuàng)業(yè)”的號(hào)召，利用銀行小額無(wú)息貸款開(kāi)辦了一家飾品店．該店購(gòu)進(jìn)一種今年新上市的飾品進(jìn)行銷售，飾品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件60元，每月可賣出300件．市場(chǎng)調(diào)查反映：調(diào)整價(jià)格時(shí)，售價(jià)每漲1元每月要少賣10件；售價(jià)每下降1元每月要多賣20件．為了獲得更大的利潤(rùn)，現(xiàn)將飾品售價(jià)調(diào)整為60+x（元/件）（x＞0即售價(jià)上漲，x＜0即售價(jià)下降），每月飾品銷量為y（件），月利潤(rùn)為w（元）．
（1）
直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如何確定銷售價(jià)格才能使月利潤(rùn)最大？求最大月利潤(rùn)；
（3）為了使每月利潤(rùn)不少于6000元應(yīng)如何控制銷售價(jià)格？

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