Question

【題目】如圖1所示，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，D為拋物線的頂點(diǎn)，E為拋物線上一點(diǎn)，且C、E關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，分別作直線AE、DE．

（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）在圖1中，直線DE上有一點(diǎn)Q，使得△QCO≌△QBO，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如圖2，直線DE與x軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)M為線段AF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，有A向F運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)到F處停止，點(diǎn)N由F處出發(fā)，沿射線FE方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度，M、N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)M停止時(shí)點(diǎn)N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，t為何值時(shí)，以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是特殊的平行四邊形．請(qǐng)直接寫(xiě)出t值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣5），即y=﹣x2+4x+5；

（2）

解：如圖1，y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，則D（2，9），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+4x+5=5，則C（0，5），

∵C、E關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

∴E（4，5），

設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，

把D（2，9），E（4，5）代入得 ，解得 ，

∴直線DE的解析式為y=﹣2x+13，

∵△QCO≌△QBO，

∴∠COQ=∠BOQ，

∴點(diǎn)Q為第一象限角平分線上的點(diǎn)，

即OQ的解析式為y=x，

解方程組 ，解得 ，

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）；

（3）

解：如圖2，

對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)H，DH=9，F(xiàn)H= ，DF= ，

當(dāng)y=0時(shí)，﹣2x+13=0，解得x= ，則F（ ，0），

∴AF= ﹣（﹣1）= ，

AM=2t，F(xiàn)N= t，則FM= ﹣2t，

當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且FM、FN為菱形的兩鄰邊，則FN=FM，即 t= ﹣2t，解得t= ；

當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且FN為菱形對(duì)角線，連接MP交FN于Q，則PM與NQ互相垂直平分，F(xiàn)Q= t，

易得△FQH∽△FHD，

∴FQ：FH=FM：FD，即 t： =（ ﹣2t）： ，解得t= ；

當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且FM為菱形對(duì)角線，NP與MF相交于K，如圖3，則MF與NP互相垂直平分，F(xiàn)K= MF= （ ﹣2t），

易得△FKN∽△FHD，

∴FK：FH=FN：FD，即 （ ﹣2t）： = t： ，解得t= ；

當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，且∠NMF=90°，

易得△FMN∽△FHD，

∴FM：FH=FN：FD，即（ ﹣2t）： = t： ，解得t= ；

當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，且∠MNF=90°，

易得△FNM∽△FHD，

∴FM：FD=FN：FH，即（ ﹣2t）： = t： ，解得t= ，

綜上所述，t的值為 或 或 或 或 ．

【解析】（1）直接利用交點(diǎn)式寫(xiě)出拋物線的解析式；（2）如圖1，利用配方法得到D（2，9），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，再確定C（0，5），則E（4，5），接著利用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式為y=﹣2x+13，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠COQ=∠BOQ，所以點(diǎn)Q為第一象限角平分線上的點(diǎn)，最后解方程組 得Q點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)H，先確定DH=9，F(xiàn)H= ，DF= ，AF= ，AM=2t，F(xiàn)N= t，則FM= ﹣2t，分類(lèi)討論：當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且FM、FN為菱形的兩鄰邊，則FN=FM，即 t= ﹣2t；當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且FN為菱形對(duì)角線，連接MP交FN于Q，利用菱形的性質(zhì)得FQ= t，再通過(guò)得△FQH∽△FHD得到 t： =（ ﹣2t）： ；當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且FM為菱形對(duì)角線，NP與MF相交于K，如圖3，利用菱形的性質(zhì)得FK= （ ﹣2t），再通過(guò)△FKN∽△FHD得到 （ ﹣2t）： = t： ；當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，且∠NMF=90°，通過(guò)△FMN∽△FHD得到（ ﹣2t）： = t： ；當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，且∠MNF=90°，通過(guò)△FNM∽△FHD得到（ ﹣2t）： = t： ，然后分別解關(guān)于t的方程可確定滿(mǎn)足條件的t的值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．