Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²+2mx+n經(jīng)過P（，5），A（0，2）兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為B，將直線AB沿y軸向下平移兩個單位得到直線l，直線l與拋物線的對稱軸交于C點，求直線l的解析式；
（3）在（2）的條件下，求到直線OB，OC，BC距離相等的點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）把P，A坐標(biāo)代入拋物線解析式即可．
（2）先設(shè)出平移后的直線l的解析式，然后根據(jù)（1）的拋物線的解析式求出C點的坐標(biāo)，然后將C點的坐標(biāo)代入直線l中即可得出直線l的解析式．
（3）本題關(guān)鍵是找出所求點的位置，根據(jù)此點到直線OB、OC、BC的距離都相等，因此這類點應(yīng)該有4個，均在△OBC的內(nèi)角平分線上（△OBC外有3個，三條角平分線的交點是一個），可據(jù)此來求此點的坐標(biāo)．
解答：解：（1）根據(jù)題意得，
解得，
所以拋物線的解析式為：．

（2）由得拋物線的頂點坐標(biāo)為B（，1），
依題意，可得C（，-1），且直線過原點，
設(shè)直線的解析式為y=kx，則，
解得，
所以直線l的解析式為．

（3）到直線OB、OC、BC距離相等的點有四個，如圖，
由勾股定理得OB=OC=BC=2，所以△OBC為等邊三角形．
易證x軸所在的直線平分∠BOC，y軸是△OBC的一個外角的平分線，
作∠BCO的平分線，交x軸于M₁點，交y軸于M₂點，
作△OBC的∠BCO相鄰?fù)饨堑慕瞧椒志�，交y軸于M₃點，
反向延長線交x軸于M₄點，可得點M₁，M₂，M₃，M₄就是到直線OB、OC、BC距離相等的點．
可證△OBM₂、△BCM₄、△OCM₃均為等邊三角形，可求得：
①OM₁==×2=，所以點M₁的坐標(biāo)為（，0）．
②點M₂與點A重合，所以點M₂的坐標(biāo)為（0，2），
③點M₃與點A關(guān)于x軸對稱，所以點M₃的坐標(biāo)為（0，-2），
④設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為N，
M₄N=，且ON=M₄N，
所以點M₄的坐標(biāo)為（，0）
綜合所述，到直線OB、OC、BC距離相等的點的坐標(biāo)分別為：
M₁（，0）、M₂（0，2）、M₃（0，-2）、M₄（，0）．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，一次函數(shù)的平移以及角平分線定理的應(yīng)用等知識點．綜合性強，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．