Question

如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點M、N分別是邊AC和BC的中點，點D在射線BM上，且BD=2BM．點E在射線NA上，且NE=2NA，求證：BD⊥DE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：取AD中點F，連接EF，證△BCM≌△ACN，△EAF≌△ANC，△AFE≌△DFE，推出∠EDA=∠EAD，∠ADM=∠CBM=∠NAC，求出∠EDB=∠EDA+∠BDA=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM，即可得出答案．

解答：
證明：取AD中點F，連接EF，
∵△ABC是等腰直角三角形，點M、N分別是邊AC和BC的中點，
∴BC=AC，AC=2CM，BC=2CN，
∴CM=CN，
在△BCM和△ACN中，

BC=AC ∠C=∠C CM=CN

，
∴△BCM≌△ACN（SAS），
∴AN=BM，∠CBM=∠CAN，
∵NE=2AN，
∴AE=AN，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC，
在△EAF和△ANC中，

AE=AN ∠EAF=∠ANC AF=NC

，
∴△EAF≌△ANC（SAS），
∴∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DFE=90°，
∵F為AD中點，
∴AF=DF，
在△AFE和△DFE中，

AF=DF ∠AFE=∠DFE EF=EF

，
∴△AFE≌△DFE（SAS），
∴∠EAD=∠EDA=∠ANC，
∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°，
∴BD⊥DE．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．