Question

（2013•新華區(qū)一模）已知：等邊△ABC的面積為S，D_n，E_n，F(xiàn)_n（n為正整數(shù)0分別是AB，BC，CA邊上的點(diǎn)，連接D_nE_n，E_nF_n，F(xiàn)_nD_n，可得△D_nE_nF_n．
如圖1，當(dāng)AD₁=BE₁=CF₁=

1

2

AB時(shí)，我們?nèi)菀椎玫健鱀₁E₁F₁是等邊三角形，且S△AD1F1=S△D1E1F1=

1

4

S．
探究論證：
（1）如圖2，當(dāng)AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB時(shí)，
①△D₂E₂F₂是

等邊

三角形（填寫(xiě)“等腰”或“等邊”或“不等邊”）；
②S△AD2F2=

2

9

S

；S△D2E2F2=

1

3

S

（用含S的代數(shù)式表示）；
③請(qǐng)說(shuō)明以上結(jié)論的正確性．
猜想發(fā)現(xiàn)：
（2）如圖3，當(dāng)AD_n=BE_n=CF_n=

1

n+1

AB時(shí)，
①△D_nE_nF_n是

等邊

三角形（填寫(xiě)“等腰”或“等邊”或“不等邊”）；
②S△ADnFn=

n

(n+1)2

S

；S△DnEnFn=

n2-n+1

(n+1)2

S

（用含S的代數(shù)式表示）．
實(shí)際應(yīng)用：
（3）學(xué)校有一塊面積為49m²的等邊△ABC空地，按如圖4所示分割，其中AD₆=BE₆=CF₆=

1

7

AB，計(jì)劃在△D₆E₆F₆內(nèi)栽種花卉，其余地方鋪草坪，則栽種花卉（即陰影部分）的面積為多少m²？

Answer 1

分析：（1）①由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件可證△AD₂F₂≌△BE₂D₂≌△CF₂E₂，得D₂E₂=E₂F₂=F₂D₂，所以△D₂E₂F₂為等邊三角形；
②由等邊三角形的性質(zhì)和面積公式可求；
（2）與上問(wèn)比較，只是分點(diǎn)的位置由原來(lái)的三等分點(diǎn)變成了（n+1）等分點(diǎn)，所以做法與（1）完全一樣；
（3）根據(jù)AD₆=BE₆=CF₆=

1

7

AB可以推知分點(diǎn)的是6等分點(diǎn)，所以根據(jù)（2）中的公式來(lái)求得陰影部分的面積．

解答：解：（1）①等邊；②

2

9

S，

1

3

S；
③證明：
①∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°．
又∵AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB，
∴AF2=BD2=CE2=

2

3

AB，
則易證△AD₂F₂≌△BE₂D₂，△AD₂F₂≌△CF₂E₂，△BE₂D₂≌△CF₂E₂．（或△AD₂F₂≌△BE₂D₂≌△CF₂E₂）．
∴D₂F₂=E₂D₂=F₂E₂，
∴△D₂E₂F₂是等邊三角形；
②如圖，過(guò)點(diǎn)D₂作D₂M∥BC，交AC于點(diǎn)M，
則△AD₂M∽△ABC，
∴

AM

AC

=

AD2

AB

=

1

3

，
∴AM=

1

3

AC，
∴點(diǎn)M是的AF₂中點(diǎn)．
∴

S△AD2M

S△ABC

=(

AD2

AB

)2=(

1

3

)2=

1

9

，即S△AD2M=

1

9

S，
∴S△AD2F2=2S△AD2M=

2

9

S，S△D2E2F2=S-3S△AD2F2=

1

3

S；

（2）①等邊；
②

n

(n+1)2

S，

n2-n+1

(n+1)2

S；

（3）∵S=49，AD6=BE6=CF6=

1

7

AB，
∴S△D6E6F6=

62-6+1

(6+1)2

×49=31（m²）．
∴栽種花卉（即陰影部分）的面積為31m²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形等性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的面積規(guī)律．做有規(guī)律的題目時(shí)，在由特殊到一般的過(guò)程中，要善于抓住不變量，找到解題途徑．此題比較難，要求學(xué)生有比較好的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．