Question

（2010•雅安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（-2，0），B（1，0），
C（0，-2

3

）．
（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）在y軸上取一點(diǎn)P，使PA+PD最小，求出該最小值．
（3）在第三象限中，是否存在點(diǎn)M，使AC為等腰△ACM的一邊，且底角為30°？如果存在，請(qǐng)說(shuō)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式求解即可，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)最短路線問(wèn)題，先找出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，然后連接A′D交y軸于點(diǎn)P，則A′D=PA+PD，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)E，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再求出A′E與ED的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理列式求出A′D的長(zhǎng)度，從而得解；
（3）連接AC，利用解直角三角形可以求出∠ACO=30°，過(guò)點(diǎn)A作直線l∥y軸，可得點(diǎn)M一定在直線l上，然后分AC是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況求出AM的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)M在第三象限寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵拋物線經(jīng)過(guò)A（-2，0），B（1，0），C（0，-2

3

）三點(diǎn)，
∴

4a-2b+c=0 a+b+c=0 c=-2 3

，
解得

a= 3 b= 3 c=-2 3

，
∴拋物線解析式為y=

3

x²+

3

x-2

3

，
-

b

2a

=-

3

2× 3

=-

1

2

，

4ac-b2

4a

=

4× 3 ×(-2 3 )-( 3 )2

4× 3

=-

9

4

3

，
所以，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

1

2

，-

9

4

3

）；

（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，
∵A（-2，0），
∴A′（2，0），
連接A′D交y軸于點(diǎn)P，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，
∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

1

2

，-

9

4

3

），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-

1

2

，0），
∴|A′E|=|2-（-

1

2

）|=

5

2

，|ED|=

9

4

3

，
∴PA+PD=PA′+PD=A′D=

A′E2+ED2

=

( 5 2 )2+( 9 3 4 )2

=

7

4

7

，
所以，PA+PD的最小值為

7

4

7

；

（3）存在．
理由如下：連接AC，在Rt△AOC中，tan∠ACO=

AO

CO

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠ACO=30°，
過(guò)點(diǎn)A作直線l∥y軸，已知點(diǎn)M在第三象限，可得點(diǎn)M在直線l上，
①以AC為腰時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，AM=2CO=2×2

3

=4

3

，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，-4

3

），
②以AC為底邊時(shí)，根據(jù)勾股定理可得AC=

AO2+CO2

=

22+(2 3 )2

=4，
AM=（

1

2

AC）÷cos30°=2÷

3

2

=2×

2 3

3

=

4 3

3

，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，-

4 3

3

），
綜上所述，存在點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，-4

3

），（-2，-

4 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用軸對(duì)稱(chēng)確定最短距離，以及等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，（3）根據(jù)數(shù)據(jù)恰好求出∠ACO=30°設(shè)計(jì)巧妙，注意分AC是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解．