Question

如圖，直線l：y=

1

3

x+

1

4

經(jīng)過點M（0，

1

4

），一組拋物線的頂點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃）…B_n（n，y_n）（n為正整數(shù)）依次是直線l上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0）…，A_n+1（x_n+1，0）（n為正整數(shù)），設(shè)x₁=d（0＜d＜1）若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則我們把這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．則當(dāng)d（0＜d＜1）的大小變化時美麗拋物線相應(yīng)的d的值是

 

．

Answer 1

分析：先求出A₁、A₂、B₁、B₂…的坐標(biāo)，若B₁為直角頂點，則A₁A₂的中點（1，0）到B₁的距離與到A₁和A₂的距離相等，求出d的值；同理：若B₂為直角頂點，求出d的值；若B₃為直角頂點，求出的d值是負(fù)數(shù)（舍去）；總結(jié)上述結(jié)果即可得出答案．

解答：解：直線l：y=

1

3

x+

1

4

，
當(dāng)x=1時，y=

7

12

，
即：B₁（1，

7

12

），
當(dāng)x=2時，y=

11

12

，
即：B₂（2，

11

12

），
∵A₁（d，0），A₂（2-d，0），
若B₁為直角頂點，則A₁A₂的中點（1，0）到B₁的距離與到A₁和A₂的距離相等，
即：1-d=

7

12

，
解得：d=

5

12

；
同理：若B₂為直角頂點，則A₂A₃的中點（2，0）到B₂的距離與到A₃和A₂的距離相等，
即：2-（2-d）=

11

12

，
解得：d=

11

12

；
若B₃為直角頂點，求出的d為負(fù)數(shù)，并且從B₃之后的B點，求出的d都為負(fù)數(shù)；
所以d的值是

5

12

或

11

12

．
故答案為：

5

12

或

11

12

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，直角三角形斜邊上的中線等知識點，解此題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論．此題綜合性強(qiáng)，有一定的難度．