Question

已知：在△ABC中，∠ABC=-90°，點B在直線AB上，ED與直線AC垂直，垂足為D，且點M為EC中點，連接BM，DM．

    (1)如圖1，若點E在線段AB上，探究線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你得到的結(jié)論；

    (2)如圖2，若點E在BA延長線上，你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?寫出你的猜想并加以證明：

    (3)若點E在AB延長線上，請你根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形，并直接寫出線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

解：(1)結(jié)論：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．

    (2)在(1)中得到的結(jié)論仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD．

證法一：∵點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點，

    ∴BM=EC=MC，

    又點M是Rt△DEC的斜邊EC的中點，

    ∴DM=EC=MC．

    ∴BM=DM．

    ∵BM=MC，BM=MC，

    ∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM．

    ∴∠BMD=∠EMB-∠EMD=2∠BCM-2∠DCM

    =2(∠BCM-∠DCM)=2∠BCD．

    即∠BMD=2∠BCD．

證法二：∵點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點，

    ∴BM=EC=ME．

    又點M是Rt△DEC的斜邊EC的中點，

    ∴DM=EC=MC，

    ∴BM=DM．

    ∵BM=ME，DM=MC，

    ∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC．

    ∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD．

    ∴∠BMD=180°-(∠BMC+∠DME)

    =180°-2(∠BEM+∠MCD)=180°-2(90°-∠BCD)=2∠BCD．

    即∠BMD=2∠BCD．

(3)所畫圖形如圖所示：

    圖1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；

    圖2中∠BCD不存在，有BM=DM；

    圖3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．