Question

已知拋物線y=4x²-7x+4與直線y=x+b相交于A、B兩點．
（1）求b的取值范圍；
（2）當AB=2時，求b的值；
（3）設坐標原點為O，在（2）的條件下，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據交點的意義可得4x²-7x+4=x+b，整理，得4x²-8x+（4-b）=0，拋物線與直線有兩個交點，即方程有兩個不相等的實數根，即△=（-8）²-16（4-b）=16b＞0，所以b＞0．
（2）設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），x₁＜x₂，根據x₁、x₂是方程4x²-8x+（4-b）=0的兩根，利用根與系數的關系可知
|x₁-x₂|=，根據題意可知y₂-y₁=x₂-x₁，所以，即b=2．
（3）由（2）可知，直線的解析式為y=x+2，設直線與y軸交于C點，則C點的坐標為（0，2），OC=2，易知x₂＞x₁＞0，用點的坐標表示出線段的長度，并表示出S_△AOC，S_△BOC，可知S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC==．
解答：解：（1）根據題意，得4x²-7x+4=x+b．（1分）
整理，得4x²-8x+（4-b）=0．（2分）
∵拋物線與直線有兩個交點，
∴△=（-8）²-16（4-b）=16b＞0．
∴b＞0（3分）．

（2）不妨設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），x₁＜x₂，如圖
∵x₁、x₂是方程4x²-8x+（4-b）=0的兩根
∴（4分）
∴（5分）
∴y₁=x₁+b，y₂=x₂+b
∴y₂-y₁=x₂-x₁（6分）
∴
∴b=2．（7分）

（3）由（2）可知，直線的解析式為y=x+2，設直線與y軸交于C點，
則C點的坐標為（0，2），OC=2，易知x₂＞x₁＞0．
∵，（8分）
∴（9分）
=
∴（10分）．
點評：本題考查二次函數的綜合應用，解題的關鍵是能利用一元二次方程解的意義和根的判別式求得b的取值范圍，并會用根與系數的關系求得交點之間的關系，能熟練地運用數形結合的思想求得幾何圖形的面積．