Question

已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)A（2，0）、B（3，-3）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（1），點(diǎn)Q（m，n）（0≤m≤2）是拋物線y=ax²+bx上一點(diǎn)，當(dāng)△OBQ的面積為3時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），若點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得△POQ∽△NOB？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A（2，0）、B（3，-3）兩點(diǎn)代入拋物線y=ax²+bx，組成二元一次方程組，求出a、b即可；
（2）首先求出過(guò)O、B的函數(shù)解析式，過(guò)Q點(diǎn)作QS⊥x軸，交NB與點(diǎn)S，表示出點(diǎn)S的坐標(biāo)，利用面積和表示出△OBQ的面積，建立方程，求出m的值即可；
（3）綜合利用幾何變換和相似關(guān)系求解．
方法一：翻折變換，將△NOB沿x軸翻折；
方法二：旋轉(zhuǎn)變換，將△NOB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°．
特別注意求出P點(diǎn)坐標(biāo)之后，該點(diǎn)關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)也滿足題意，即滿足題意的P點(diǎn)有兩個(gè)，避免漏解．

解答：解：（1）把A（2，0）、B（3，-3）兩點(diǎn)代入拋物線y=ax²+bx，得，

4a+2b=0 9a+3b=-3

，
解得

a=-1 b=2

，
∴y=-x²+2x；  

（2）如圖1，

過(guò)O、B的函數(shù)解析式為y_OB=-x，
則S的坐標(biāo)為（m，-m）
當(dāng)△OBQ的面積為3時(shí)，可得

1

2

m（n+m）+

1

2

（n+m）（3-m）=3，
m+n=2，
因?yàn)閚=-m²+2m，
解方程組得Q₁（1，1），Q₂（2，0）；

（3）如圖2

∵y_OB=-x，
說(shuō)明OB是∠AOD的角平分線，
∠AOB=∠DOB，∠NBO=∠ABO，OB=OB，
∴△AOB≌△DOB，
則點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，-2）
直線BN為：y=-

1

3

x-2，與y=-x²+2x，
解得N（-

2

3

，-

16

9

)
①當(dāng)Q點(diǎn)為（1，1）時(shí)，把△NOB沿直線x軸對(duì)稱得△N′OB′得，N′（-

2

3

，

16

9

)，
要使△POQ∽△NOB，
過(guò)點(diǎn)Q作QP∥N′B′，
過(guò)N′、B′的函數(shù)解析式為y_N′B′=

1

3

x+2，
則過(guò)Q、P的函數(shù)解析式為y_QP=

1

3

x+

2

3

，
過(guò)ON′的函數(shù)解析式為y=-

8

3

x，
聯(lián)立方程得P₁（-

2

9

，

16

27

)，
由關(guān)于y=x對(duì)稱P₂為（

16

27

，-

2

9

）；
②當(dāng)Q點(diǎn)為（2，0）時(shí)，如圖2①，

把△OBN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到△OB″N″的位置；
由S_△BON=

1

2

×2×（3+

2

3

）=

11

3

，
OB=3

2

，
設(shè)點(diǎn)N″為（x，y）；
則S_△OB″N″=

1

2

×3

2

×y=

11

3

面積法可求得N″（

5 2

9

，-

11 2

9

)，
作QP∥N″B″，
由相似性質(zhì)得P₃（

10

27

，-

22

27

)，由對(duì)稱得P₄（

10

27

，

22

27

)
所以符合條件的點(diǎn)P是：P₁（-

2

9

，

16

27

)，P₂（

16

27

，-

2

9

)，P₃（

10

27

，-

22

27

)，P₄（

10

27

，

22

27

)．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查求二次函數(shù)解析式，關(guān)于直線y=-x和y=x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，相似三角形的判定等知識(shí)，是一道比較難的題目．