Question

【題目】山西綿山是中國(guó)歷史文化名山，因春秋時(shí)期晉國(guó)介子推攜母隱居于此被焚而著稱(chēng)，如圖1，是綿山上介子推母子的塑像，某游客計(jì)劃測(cè)量這座塑像的高度，由于游客無(wú)法直接到達(dá)塑像底部，因此該游客計(jì)劃借助坡面高度來(lái)測(cè)量塑像的高度；如圖2，在塑像旁山坡坡腳A處測(cè)得塑像頭頂C的仰角為75°，當(dāng)從A處沿坡面行走10米到達(dá)P處時(shí)，測(cè)得塑像頭頂C的仰角剛好為45°，已知山坡的坡度i=1：3，且O，A，B在同一直線上，求塑像的高度．（側(cè)傾器高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：cos75°≈0.3，tan75°≈3.7， ≈1.4， ≈1.7， ≈3.2）

Answer 1

【答案】解：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥OC于點(diǎn)F，

∵i=1：3，AP=10，
設(shè)PE=x，則AE=3x，
在Rt△AEP中，x2+（3x）2=102 ，
解得：x= 或x=﹣ （舍），
∴PE= ，則AE=3 ，
∵∠CPF=∠PCF=45°，
∴CF=PF，
設(shè)CF=PF=m米，則OC=（m+ ）米，OA=（m﹣3 ）米，
在Rt△AOC中，tan75°= = ，即m+ =tan75°（m﹣3 ），
解得：m≈14.3，
∴OC=14.3+ ≈17.5米，
答：塑像的高度約為17.5米
【解析】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥OC于點(diǎn)F，設(shè)PE=x，則AE=3x，在Rt△AEP中根據(jù)勾股定理可得PE= ，則AE=3 ，設(shè)CF=PF=m米，則OC=（m+ ）米、OA=（m﹣3 ）米，在Rt△AOC中，由tan75°= 求得m的值，繼而可得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了關(guān)于坡度坡角問(wèn)題和關(guān)于仰角俯角問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比)．用字母i表示，即i=h/l．把坡面與水平面的夾角記作A(叫做坡角)，那么i=h/l=tanA；仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角才能正確解答此題．