Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，對角線AC，BD相交于點O，點E是AD邊上一動點，將△AEO沿直線EO折疊，點A落在點F處，線段EF，OD相交于點G．若△DEG是直角三角形，則線段DE的長為____________

Answer 1

【答案】或．

【解析】

分情況討論：當(dāng)∠EGD＝90°時，設(shè)DE＝x，先利用勾股定理求得AC＝BD＝5，進(jìn)而可求得tan∠ADB＝，sin∠GFO＝，cos∠ADB＝，進(jìn)而表示出DG＝x，OG＝OD－DG＝－x，最后根據(jù)sin∠GFO＝列出方程求解即可；當(dāng)∠GED＝90°時，則由折疊知，∠AEO＝∠OEF＝45°，過點O作OH⊥AD于H，設(shè)DE＝x，則EH＝HD－DE＝2－x，再根據(jù)tan∠ADO＝列出方程求解即可．

（1）當(dāng)∠EGD＝90°時，如圖，設(shè)DE＝x，

∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝90°，

∴AC＝BD＝，AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，

∴OA＝OD＝BD＝，

∵將△AEO沿直線EO折疊，點A落在點F處，

∴OF＝OA＝，∠DAC＝∠F，

∴在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，

同理可得：sin∠GFO＝，cos∠ADB＝，

∵在Rt△DEG中，cos∠EDG＝

∴DG＝x，

∴OG＝OD－DG＝－x，

∵在Rt△OGF中，sin∠GFO＝

∴，

解得：x＝；

（2）當(dāng)∠GED＝90°時，

則由折疊知，∠AEO＝∠OEF＝45°，

過點O作OH⊥AD于H，如圖所示，

∴△EHO為等腰直角三角形，HE＝HO，

∵OA＝OD，OH⊥AD，

∴HD＝AD＝2，

設(shè)DE＝x，則EH＝HD－DE＝2－x，

∴OH＝EH＝2－x，

∵tan∠ADO＝，

∴，

解得：x＝；

∴綜上所述，DE的長為或．

故答案為：或．