Question

【提出問(wèn)題】

如圖①，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD交于點(diǎn)E，∠BEC＝n°，若AD＝a，BC＝b，則梯形ABCD的面積最大是多少？

【探究過(guò)程】

小明提出：可以從特殊情況開(kāi)始探究，如圖②，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，若AD＝3，BC＝7，則梯形ABCD的面積最大是多少？

如圖③，過(guò)點(diǎn)D做DE//AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，那么梯形ABCD的面積就等于△DBE的面積，求梯形ABCD的面積最大值就是求△DBE的面積最大值．如果設(shè)AC＝x，BD＝y(tǒng)，那么S_△DBE＝xy．

以下是幾位同學(xué)的對(duì)話：

A同學(xué)：因?yàn)閥＝，所以S_△DBE＝x，求這個(gè)函數(shù)的最大值即可．

B同學(xué)：我們知道x²＋y²＝100，借助完全平方公式可求S_△DBE＝xy的最大值

C同學(xué)：△DBE是直角三角形，底BE＝10，只要高最大，S_△DBE就最大，我們先將所有滿足BE＝10的直角△DBE都找出來(lái)，然后在其中尋找高最大的△DBE即可．

（1）請(qǐng)選擇A同學(xué)或者B同學(xué)的方法，完成解題過(guò)程．

（2）請(qǐng)幫C同學(xué)在圖③中畫(huà)出所有滿足條件的點(diǎn)D，并標(biāo)出使△DBE面積最大的點(diǎn)D₁．（保留作圖痕跡，可適當(dāng)說(shuō)明畫(huà)圖過(guò)程）

【解決問(wèn)題】

根據(jù)對(duì)特殊情況的探究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)?jiān)趫D①中畫(huà)出面積最大的梯形ABCD的頂點(diǎn)D₁，并直接寫(xiě)出梯形ABCD面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）25；（2）如下圖；（3）如下圖，S_梯形ABCD最大值為：

【解析】

試題分析：（1）選擇A同學(xué)，由S_△DBE＝＝即可作出判斷；選擇B同學(xué)，根據(jù)三角形的面積公式即可作出判斷；

（2）（3）先根據(jù)題意作出恰當(dāng)?shù)膱D形，即可求得結(jié)果.

（1）選擇A同學(xué)．

S_△DBE＝＝，

當(dāng)x²＝50，即x＝5，S_△DBE取最大值25．

選擇B同學(xué)．

方法一：S_△DBE＝xy＝×2xy≤（x²＋y²）＝25

當(dāng)x＝y(tǒng)＝5時(shí)，S_△DBE取最大值25．

方法二：S_△DBE＝xy＝[（x²＋y²）－（x－y）²]＝ [100－（x－y）²]，

當(dāng)（x－y）²＝0，即x＝y(tǒng)＝5時(shí)，S_△DBE取最大值25；

（2）如圖所示，點(diǎn)D₁即為所求的點(diǎn)

（3）如圖所示：

S_梯形ABCD最大值為：

考點(diǎn)：圓的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.