Question

【題目】閱讀理解
材料一：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形，其中平行的兩邊叫梯形的底邊，不平行的兩邊叫梯形的腰，連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線．梯形的中位線具有以下性質(zhì)：
梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．
如圖（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC
∵E、F是AB、CD的中點(diǎn)
∴EF∥AD∥BC
EF=（AD+BC）
材料二：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊
如圖（2）：在△ABC中：
∵E是AB的中點(diǎn)，EF∥BC
∴F是AC的中點(diǎn)
如圖（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，∠DBC=30°

請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合上述材料，解答下列問題．
（1）求證：EF=AC；
（2）若OD=，OC=5，求MN的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠DBC=30°，

∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，

∴AC=OA+OC=（AD+BC），

∵EF=（AD+BC），

∴AC=EF；

（2）

解：∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠DBC=30°，

∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，

∵OD=，OC=5，

∴OA=3，

∵AD∥EF，

∴∠ADO=∠OMN=30°，

∴ON=MN，

∵AN=AC=（OA+OC）=4，

∴ON=AN﹣OA=4﹣3=1，

∴MN=2ON=2．

【解析】（1）由直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可得OA=AD，OC=BC，即可證明；
（2）直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得出OA=3，利用平行線得出ON=MN，再根據(jù)AN=AC=4，得出ON=4﹣3=1，進(jìn)而得出MN的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了含30度角的直角三角形和梯形的中位線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；梯形的中位線平行于梯形的兩底并等于兩底和的一半才能正確解答此題．