【題目】閱讀理解
材料一:一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形,其中平行的兩邊叫梯形的底邊,不平行的兩邊叫梯形的腰,連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線.梯形的中位線具有以下性質(zhì):
梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半.
如圖(1):在梯形ABCD中:AD∥BC
∵E、F是AB、CD的中點(diǎn)
∴EF∥AD∥BC
EF=(AD+BC)
材料二:經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊
如圖(2):在△ABC中:
∵E是AB的中點(diǎn),EF∥BC
∴F是AC的中點(diǎn)
如圖(3)在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD于O,E、F分別為AB、CD的中點(diǎn),∠DBC=30°

請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí),結(jié)合上述材料,解答下列問題.
(1)求證:EF=AC;
(2)若OD=,OC=5,求MN的長.

【答案】
(1)

證明:∵AD∥BC,

∴∠ADO=∠DBC=30°,

∴在Rt△AOD和Rt△BOC中,OA=AD,OC=BC,

∴AC=OA+OC=(AD+BC),

∵EF=(AD+BC),

∴AC=EF;


(2)

解:∵AD∥BC,

∴∠ADO=∠DBC=30°,

∴在Rt△AOD和Rt△BOC中,OA=AD,OC=BC,

∵OD=,OC=5,

∴OA=3,

∵AD∥EF,

∴∠ADO=∠OMN=30°,

∴ON=MN,

∵AN=AC=(OA+OC)=4,

∴ON=AN﹣OA=4﹣3=1,

∴MN=2ON=2.


【解析】(1)由直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半,可得OA=AD,OC=BC,即可證明;
(2)直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半,得出OA=3,利用平行線得出ON=MN,再根據(jù)AN=AC=4,得出ON=4﹣3=1,進(jìn)而得出MN的值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了含30度角的直角三角形和梯形的中位線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;梯形的中位線平行于梯形的兩底并等于兩底和的一半才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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甲型

乙型

價(jià)格(萬元/臺(tái))

產(chǎn)量(噸/月)

240

180

(1)求a, b的值;

(2)經(jīng)預(yù)算:該公司購買的節(jié)能設(shè)備的資金不超過110萬元,請(qǐng)列式解答有幾種購買方案可供選擇;

(3)在(2)的條件下,若每月要求產(chǎn)量不低于2040噸,為了節(jié)約資金,請(qǐng)你為該公司設(shè)計(jì)一種最省錢的購買方案.

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(1)如圖1,求證:AE=DF;

(2)如圖2,若AB=2,過點(diǎn)M作 MG⊥EF交線段BC于點(diǎn)G,求證:△GEF是等腰直角三角形

(3)如圖3,若AB=,過點(diǎn)M作 MG⊥EF交線段BC的延長線于點(diǎn)G.

①直接寫出線段AE長度的取值范圍;

判斷GEF的形狀,并說明理由.

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【題目】我們給出如下定義:順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.

(1)如圖1,四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).
求證:中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想;
(3)若改變(2)中的條件,使∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀.(不必證明)

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