Question

（2004•青海）如圖，已知⊙O₁和⊙O₂外切于點(diǎn)A，直線BD切于⊙O₁點(diǎn)B，交⊙O₂于C、D，直線DA交于⊙O₁點(diǎn)E．
求證：①∠BAC=∠ABC+∠D；
②連接BE，你還能推出哪些結(jié)論．（不再標(biāo)注其他字母，不再添加輔助線，不寫推理過程）寫出五條結(jié)論即可．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構(gòu)建弦切角來求證．過點(diǎn)A作⊙O₁和⊙O₂的公切MN，交BC于點(diǎn)M，根據(jù)弦切角定理，我們可得出∠MCA=∠D，由于MA、MB都是圓O₁的切線，因此MB=MA，也就得出了∠MBA=∠MAB，也就得出了所證的結(jié)論；
（2）連接BE后，根據(jù)弦切角定理，∠ABC=∠E，由于∠MAB=∠ABC+∠D，根據(jù)（1）的結(jié)論，∠MAB=∠BAC，因此三角形EBA∽△BAC，因此可得出對(duì)應(yīng)的角相等，對(duì)應(yīng)的線段成比例．
解答：（1）證明：過點(diǎn)A作⊙O₁和⊙O₂的公切MN，交BC于點(diǎn)M，
∵CB切⊙O₁于點(diǎn)B，MN切⊙O₁于點(diǎn)A，
MA=MB，
∴∠ABC=∠BAM，
∵M(jìn)N切⊙O₂于點(diǎn)A，
∴∠CAM=∠D，又∠BAC=∠BAM+∠CAM，
∴∠BAC=∠ABC+∠D；

（2）解：∠EAB=∠BAC，△ABC∽△AEB，∠ABC=E，∠ABE=∠ACB，AB2=AC•AE等．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)，弦切角定理，切線長(zhǎng)定理等知識(shí)點(diǎn)．本題中通過構(gòu)建切線根據(jù)弦切角和切線長(zhǎng)定理來得出角相等是解題的關(guān)鍵．