Question

在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF．
（1）求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL證得Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB與∠ACB的度數，即可得∠BAE的度數，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度數，則由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；

（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．
點評：此題考查了直角三角形全等的判定與性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．