【題目】(2013年浙江義烏10分)小明合作學(xué)習(xí)小組在探究旋轉(zhuǎn)、平移變換.如圖△ABC,△DEF均為等腰直角三角形,各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,1),B(2,2),C(2,1),D(,0),E(, 0),F(,).
(1)他們將△ABC繞C點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)450得到△A1B1C.請你寫出點(diǎn)A1,B1的坐標(biāo),并判斷A1C和DF的位置關(guān)系;
(2)他們將△ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)450,發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上.請你求出符合條件的拋物線解析式;
(3)他們繼續(xù)探究,發(fā)現(xiàn)將△ABC繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45,若旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上,則可求出旋轉(zhuǎn)后三角形的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo).請你直接寫出點(diǎn)P的所有坐標(biāo).
【答案】解:(1)。
A1C和DF的位置關(guān)系是平行。
(2)∵△ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后的三角形即為△DEF,
∴①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、E時(shí),根據(jù)題意可得:,解得。
∴。
②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、F時(shí),根據(jù)題意可得:,解得。
∴。
③當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)E、F時(shí),根據(jù)題意可得:,解得。
∴。
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,可能有以下情形:
①順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)A、B落在拋物線上,如答圖1所示,
易求得點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,)。
②順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)B、C落在拋物線上,如答圖2所示,
設(shè)點(diǎn)B′,C′的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,
易知此時(shí)B′C′與一、三象限角平分線平行,∴設(shè)直線B′C′的解析式為y=x+b。
聯(lián)立y=x2與y=x+b得:x2=x+b,即,∴。
∵B′C′=1,∴根據(jù)題意易得:,∴,即。
∴,解得。
∴,解得x或。
∵點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)較小,∴。
當(dāng)時(shí),。
∴P(,)。
③順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)C、A落在拋物線上,如答圖3所示,
設(shè)點(diǎn)C′,A′的橫坐標(biāo)分別為x1,x2.
易知此時(shí)C′A′與二、四象限角平分線平行,∴設(shè)直線C′A′的解析式為。
聯(lián)立y=x2與得:,即,∴。
∵C′A′=1,∴根據(jù)題意易得:,∴,即。
∴,解得。
∴,解得x或。
∵點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)較大,∴。
當(dāng)時(shí),。
∴P(,)。
④逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)A、B落在拋物線上.
因?yàn)槟鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后,直線A′B′與y軸平行,因?yàn)榕c拋物線最多只能有一個(gè)交點(diǎn),故此種情形不存在。
⑤逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)B、C落在拋物線上,如答圖4所示,
與③同理,可求得:P(,)。
⑥逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)C、A落在拋物線上,如答圖5所示,
與②同理,可求得:P(,)。
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(0,),(,),P(,,(,)。
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及等腰直角三角形邊角關(guān)系求解。
(2)首先明確△ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后的三角形即為△DEF,然后分三種情況進(jìn)行討論,分別計(jì)算求解。
(3)旋轉(zhuǎn)方向有順時(shí)針、逆時(shí)針兩種可能,落在拋物線上的點(diǎn)有點(diǎn)A和點(diǎn)B、點(diǎn)B和點(diǎn)C、點(diǎn)C和點(diǎn)D三種可能,因此共有六種可能的情形,需要分類討論,避免漏解。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D、E分別是AB和BC上的點(diǎn).把△ABC沿著直線DE折疊,頂點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′
(1)如圖1,點(diǎn)B′恰好落在線段AC的中點(diǎn)處,求CE的長;
(2)如圖2,點(diǎn)B′落在線段AC上,當(dāng)BD=BE時(shí),求B′C的長;
(3)如圖3,E是BC的中點(diǎn),直接寫出AB′的最小值.
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【題目】已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C,將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合,它的兩條直角邊分別與OA,OB(或它們的反向延長線)相交于點(diǎn)D,E.
當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)(如圖①),易證:OD+OE=OC;
當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí),即在圖②,圖③這兩種情況下,上述結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,線段OD,OE,OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,不需證明.
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【題目】在一個(gè)不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種球共50個(gè),小穎做摸球?qū)嶒?yàn),她將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色,再把它放回盒子中,不斷重復(fù)上述過程,下表是實(shí)驗(yàn)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
摸球的次數(shù) | 100 | 200 | 300 | 500 | 800 | 1000 | 3000 |
摸到白球的次數(shù) | 65 | 124 | 278 | 302 | 481 | 599 | 1803 |
摸到白球的頻率 | 0.65 | 0.62 | 0.593 | 0.604 | 0.601 | 0.599 | 0.601 |
(1)請估計(jì)當(dāng)很大時(shí),摸到白球的頻率將會接近 (精確到0.1);
(2)假如摸一次,摸到黑球的概率 ;
(3)試估算盒子里黑顏色的球有多少只.
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【題目】如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,將BD向兩個(gè)方向延長,分別至點(diǎn)E和點(diǎn)F,且使BE=DF.
(1)求證:四邊形AECF是菱形;
(2)若AC=4,BE=1,求菱形AECF的邊長和面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A,B,C三點(diǎn),在拋物線上找到一點(diǎn)D,使得∠DCB=∠ACO,則D點(diǎn)坐標(biāo)為____________________.
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【題目】已知:二次函數(shù)滿足下列條件:①拋物線y=ax2+bx與直線y=x只有一個(gè)交點(diǎn);②對于任意實(shí)數(shù)x,a(-x+5)2+b(-x+5)=a(x-3)2+b(x-3)都成立.
(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx的解析式;
(2)若當(dāng)-2≤x≤r(r≠0)時(shí),恰有t≤y≤1.5r成立,求t和r的值.
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【題目】某養(yǎng)雞場有2500只雞準(zhǔn)備對外出售.從中隨機(jī)抽取了一部分雞,根據(jù)它們的質(zhì)量(單位:),繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②.請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(Ⅰ)圖①中的值為 ;
(Ⅱ)求統(tǒng)計(jì)的這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅲ) 根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)這2500只雞中,質(zhì)量為的約有多少只?
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【題目】如圖,點(diǎn)A、B、C在同一直線上,△ABD,△BCE都是等邊三角形.
(1)求證:AE=CD;
(2)若M,N分別是AE,CD的中點(diǎn),試判斷△BMN的形狀,并證明你的結(jié)論.
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