Question

如圖，直線分別交軸、軸于B、A兩點(diǎn)，拋物線L：的頂點(diǎn)G在軸上，且過(0，4)和(4，4)兩點(diǎn).

1.求拋物線L的解析式；

2.拋物線L上是否存在這樣的點(diǎn)C，使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形，若存在，請(qǐng)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.將拋物線L沿軸平行移動(dòng)得拋物線L，其頂點(diǎn)為P，同時(shí)將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB，使點(diǎn)D落在拋物線L上. 試問這樣的拋物線L是否存在，若存在，求出L對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，若不存在，說明理由．

 

Answer 1

 

1.∵拋物線L過(0，4)和(4，4)兩點(diǎn),由拋物線的對(duì)稱性知對(duì)稱軸為, ∴G(2，0)，將(2，0)、(4,4)代入，得，

      解得.   ∴拋物線L的解析式為.……………………3分

2.∵直線分別交軸、軸于B、A兩點(diǎn)，∴A(0，3)，B(-，0).

     若拋物線L上存在滿足的點(diǎn)C，則AC∥BG,

     ∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)此為3，設(shè)C(，3)，又C在拋物線L，代人解析式：

      ,, ∴,.……………………5分

     當(dāng)時(shí),  BG=, AG=,

     ∴BG∥AG且BG=AG，此時(shí)四邊形ABGC是平行四邊形，舍去,

     當(dāng)時(shí),  BG=, AG=,

     ∴BG∥AG且BG≠AG,此時(shí)四邊形ABGC是梯形.

故存在這樣的點(diǎn)C，使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形，其坐標(biāo)為：

C(，3).  …………………………………………7分

3.假設(shè)拋物線L是存在的，且對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為, ∴頂點(diǎn)P(，0).

     Rt△ABO中，AO=3，BO=，可得∠ABO=60°，又△ABD≌△ABP.

∴∠ABD=60°，BD=BP=.……………………8分

如圖，過D作DN⊥軸于N點(diǎn)，Rt△BND中，BD=， ∠DBN=60°

∴DN=，BN=，∴D(，)，   

即D(，)，又D點(diǎn)在拋物線上，

∴，整理：.

解得,，當(dāng)時(shí)，P與B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去，

     ∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)拋物線為.……………………11分

 解析:略