Question

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn)（不包括射線的端點(diǎn)）.如圖1，2，3是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況.

研究：

（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合如圖2加以證明；

（2）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時(shí)CE的長；若不能，請(qǐng)說明理由；

（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB上的M處，且AM∶MB＝1∶3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合如圖4加以證明.

 

Answer 1

【答案】

（1）PD=PE；（2）1，，；（3）ME="3MD"

【解析】

試題分析：（1）連接PC，通過證明△PCD≌△PBE，得出PD=PE；

（2）分為點(diǎn)C與點(diǎn)E重合、CE=、CE=1、E在CB的延長線上四種情況進(jìn)行說明；

（3）作MH⊥CB，MF⊥AC，構(gòu)造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例，就可以求出MD和ME之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）連接PC，

因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，P是AB的中點(diǎn)，

∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．

∴∠ACP=∠B=45°．

又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，

∴∠DPC=∠BPE．

∴△PCD≌△PBE．

∴PD=PE；

（2）△PBE是等腰三角形，

①當(dāng)PE=PB時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，CE=0；

②當(dāng)BP=BE時(shí)，E在線段BC上，CE=；E在CB的延長線上，CE=；

③當(dāng)EP=EB時(shí)，CE=1；

（3）過點(diǎn)M作MF⊥AC，MH⊥BC

 

∵∠C=90°，

∴四邊形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH．

∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，

∴∠DMF=∠EMH，

∵∠MFD=∠MHE=90°，

∴△MFD∽△MHE，

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)問題的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．