Question

觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：
驗(yàn)證：2

2 3

=

2+ 2 3

；
驗(yàn)證：2

2 3

=

23 3

=

(23-2)+2 22-1

=

2(22-1)+2 22-1

=

2+ 2 3

；
驗(yàn)證：3

3 8

=

3+ 3 8

；
驗(yàn)證：3

3 8

=

33 8

=

(33-3)+3 32-1

=

3(32-1)+3 32-1

=

3+ 3 8

．
（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想4

4 15

的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為任意自然數(shù)，且n≥2）表示的等式，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：等式的變形過程利用了二次根式的性質(zhì)a=

a2

（a≥0），把根號(hào)外的移到根號(hào)內(nèi)；再根據(jù)“同分母的分式相加，分母不變，分子相加”這一法則的倒用來進(jìn)行拆分，同時(shí)要注意因式分解進(jìn)行約分，最后結(jié)果中的被開方數(shù)是兩個(gè)數(shù)相加，兩個(gè)加數(shù)分別是左邊根號(hào)外的和根號(hào)內(nèi)的；
（2）根據(jù)上述變形過程的規(guī)律，即可推廣到一般．表示左邊的式子時(shí)，注意根號(hào)外的和根號(hào)內(nèi)的分子、分母之間的關(guān)系：根號(hào)外的和根號(hào)內(nèi)的分子相同，根號(hào)內(nèi)的分子是分母的平方減去1．

解答：解：（1）4

4 15

=

4+ 4 15

．驗(yàn)證如下：
左邊=

42×4 15

=

43-4+4 42-1

=

4(42-1)+4 42-1

=

4+ 4 15

=右邊，
故猜想正確；

（2）n

n n2-1

=

n+ n n2-1

．證明如下：
左邊=

n2×n n2-1

=

n3-n+n n2-1

=

n(n2-1)+n n2-1

=

n+ n n2-1

=右邊．

點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)找規(guī)律的題目，主要考查了二次根式的性質(zhì)．觀察時(shí)，既要注意觀察等式的左右兩邊的聯(lián)系，還要注意右邊必須是一種特殊形式．