Question

（2013•梧州）海上有一小島，為了測量小島兩端A、B的距離，測量人員設(shè)計(jì)了一種測量方法，如圖所示，已知B點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，E是BA延長線上的一點(diǎn)，測得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=

3

5

．
（1）求小島兩端A、B的距離；
（2）過點(diǎn)C作CF⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)F，求sin∠BCF的值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△CED中，利用三角函數(shù)求出CE，CD的長，根據(jù)中點(diǎn)的定義求得BE的長，AB=BE-AE即可求解；
（2）設(shè)BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF²=CB²-BF²=25²-x²=625-x²．在Rt△CFE中，列出關(guān)于x的方程，求得x的值，從而求得sin∠BCF的值．

解答：解：（1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，
∴cos∠D=

DE

CD

=

3

5

，
∴CE=40（海里），CD=50（海里）．
∵B點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，
∴BE=

1

2

CD=25（海里）
∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里）．
答：小島兩端A、B的距離為16.7海里．

（2）設(shè)BF=x海里．
在Rt△CFB中，∠CFB=90°，
∴CF²=CB²-BF²=25²-x²=625-x²．
在Rt△CFE中，∠CFE=90°，
∴CF²+EF²=CE²，即625-x²+（25+x）²=1600．
解得x=7．
∴sin∠BCF=

BF

BC

=

7

25

．

點(diǎn)評：考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟悉三角函數(shù)的知識和勾股定理，同時涉及到方程思想．