Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A、B 兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C（0，1）．直線DB交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)P（2，-3）．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若以A、B、P、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）連接AP，點(diǎn)F在直線AP上，設(shè)點(diǎn)F到直線DB的距離為m，點(diǎn)F到點(diǎn)D的距離為n，求m+n的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=ax²+1，然后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入進(jìn)行計(jì)算即可得解；求出拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線DB的解析式，令x=0求出y的值即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)梯形的底邊互相平行，分①AP∥BE，求出直線AP的解析式，再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線BE的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；②AB∥PE，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱；③BP∥AE，根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出AE的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，根據(jù)點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)可以求出∠APM=60°，∠BPM=30°，∠APN=30°，然后求出PA是∠BPN的平分線，過點(diǎn)F作FH⊥PN于點(diǎn)H，連接DF、DH，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得FH=m，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)D、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，m+n的值最小，此時(shí)，點(diǎn)F為直線AP與y軸的交點(diǎn)，m+n=PN，然后求解即可．
解答：解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)為C（0，1），
∴設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+1，
又∵點(diǎn)P（2，-3）在拋物線上，
∴a（2）²+1=-3，
解得a=-，
∴拋物線的解析式為y=-x²+1；
令y=0，則-x²+1=0，
解得x₁=-，x₂=，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴點(diǎn)A（-，0），點(diǎn)B（，0），
設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線DP的解析式為y=-x+3，
令x=0，則y=3，
所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）；

（2）①AP∥BE時(shí)，設(shè)直線AP的解析式為y=ex+f，
則，
解得，
所以，直線AP的解析式為y=-x-1，
設(shè)直線BE的解析式為y=-x+g，
則-×+g=0，
解得g=1，
所以，直線BE的解析式為y=-x+1，
聯(lián)立，
解得，（為點(diǎn)B的坐標(biāo)），
所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）；
②AB∥PE時(shí)，∵拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)E為點(diǎn)P（2，-3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，
∴點(diǎn)E（-2，-3）；
③BP∥AE時(shí)，∵直線DP的解析式為y=-x+3，
∴設(shè)直線AE的解析式為y=-x+h，
則-×（-）+h=0，
解得h=-3，
∴直線AE的解析式為y=-x-3，
聯(lián)立，
解得，（為點(diǎn)A坐標(biāo)），
所以，點(diǎn)E坐標(biāo)為（4，-15），
綜上所述，點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，1），（-2，-3），（4，-15）；

（3）如圖，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，
∵A（-，0），B（，0），P（2，-3），
∴tan∠APM===，
tan∠BPM===，
∴∠APM=60°，∠BPM=30°，
∴∠APB=∠APM-∠BPM=60°-30°=30°，
又∵PN∥AM，
∴∠APN=∠PAM=90°-60°=30°，
∴∠APB=∠APN，
點(diǎn)F在直線AP上，過點(diǎn)F作FH⊥PN于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得FH=m，
連接DF、DH，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，DF+FH＞DH，
即m+n＞DH，
所以，當(dāng)點(diǎn)D、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，m+n的最小值，
此時(shí)，點(diǎn)F為直線AP與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)H、N重合，
最小值m+n=3-（-3）=3+3=6．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（二次函數(shù)與直線解析式），梯形的對(duì)邊平行的性質(zhì)，解直角三角形求銳角的度數(shù)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，以及三角形的三邊關(guān)系，（1）利用頂點(diǎn)式解析式求解比較簡單，（2）要注意分底邊的不同進(jìn)行討論，（3）根據(jù)求出的角度的相等的角，利用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．