Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為頂點(diǎn)，連接BD、CD、BC．

（1）求證△BCD是直角三角形；

（2）點(diǎn)P為線段BD上一點(diǎn)，若∠PCO+∠CDB=180°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，作MN⊥CD，交直線CD于點(diǎn)N，若∠CMN=∠BDE，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）P（，﹣）；（3）M的坐標(biāo)（5，12）或（，﹣）

【解析】試題分析：（1）先利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，并配方成頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，和與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，由勾股定理計(jì)算△BDC三邊的平方，利用勾股定理的逆定理證明△BCD是直角三角形；
（2）作輔助線，構(gòu)建直角三角形PCQ與直角三角形BDC相似，根據(jù)比例式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線BD的解析式，因?yàn)辄c(diǎn)P為線段BD上一點(diǎn)，代入直線BD的解析式列方程可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）同理求直線CD的解析式為：y=-x-3，由此表示點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a，-a-3），因?yàn)镸在拋物線上，所以設(shè)M（x，x2-2x-3），根據(jù)同角的三角函數(shù)得：tan∠BDE=tan∠CMN= ，則 ，如圖2，證明△MGN∽△NFC，列比例式可得方程組解出即可；如圖3，證明△CFN∽△NGM，列比例式可得方程組解出即可；

試題解析：

解：（1）把A（﹣1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)代入拋物線y=x2+bx+c中得：

， 解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴C（0，﹣3），D（1，﹣4），

由勾股定理得：BC2=32+32=18，

CD2=12+（4﹣3）2=2， BD2=（3﹣1）2+42=20，

∴CD2+BC2=BD2， 即∠BCD=90°，

∴△BCD是直角三角形；

（2）作PQ⊥OC于點(diǎn)Q，

∴∠PQC=90°，

∵∠PCO+∠CDB=180°，

∠PCO+∠PCQ=180°，

∴∠CDB=∠PCQ，

∵∠PQC=∠BCD=90°，

∴△PCQ∽△BDC，

∴=3，

∴PQ=3CQ，

設(shè)CQ=m，則PQ=3m，

設(shè)P（3m，﹣3﹣m），

設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，

把B（3，0）、D（1，﹣4）代入得： ，解得： ，

∴直線BD的解析式為：y=2x﹣6，

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線BD：y=2x﹣6得：

﹣3﹣m=2×3m﹣6，

∴3m=，﹣3﹣m=﹣3﹣=﹣，

∴P（，﹣）；

（3） M的坐標(biāo)（5，12）或（，﹣）．