Question

如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線、、、上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為、、（＞0，＞0，＞0）．
（1）求證：=；
（2）設正方形ABCD的面積為S，求證：S=；
（3）若，當變化時，說明正方形ABCD的面積S隨的變化情況．

Answer 1

（1）過A點作AF⊥l₃分別交l₂、l₃于點E、F，過C點作CG⊥l₃交l₃于點G，
∵l₂∥l₃，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；
（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD²=AF²+FD²，∴S=；
(3)由題意，得， 所以
，
又，解得0＜h₁＜
∴當0＜h₁＜時，S隨h₁的增大而減�。�
當h₁=時，S取得最小值；
當＜h₁＜時，S隨h₁的增大而增大.

解析