Question

在坐標(biāo)平面中，直線y=x+5分別交x軸、y軸于A、B，直線y=-2x+20分別交x軸、y軸于C、D，直線AB、CD相交于E，
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P為線段AE上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線分別交直線CB、CD于F、G，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，線段PF的長(zhǎng)度為d，求d與m的函數(shù)關(guān)系式（直接寫(xiě)出自變量m的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)直線EF把△BCD的面積分成2：3兩部分時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立兩直線解析式，解二元一次方程組即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后分①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，根據(jù)點(diǎn)P、F、G的縱坐標(biāo)相同表示出點(diǎn)P、F的坐標(biāo)，然后根據(jù)PF的長(zhǎng)度等于點(diǎn)F的橫坐標(biāo)減去點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，計(jì)算即可得解；②當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上時(shí)，根據(jù)點(diǎn)P、F、G的縱坐標(biāo)相同表示出點(diǎn)P、F的坐標(biāo)，然后根據(jù)PF的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)減去點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，計(jì)算即可得解；
（3）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后表示出FG，然后求出△BCD的面積，再分①點(diǎn)P在AB上時(shí)，根據(jù)△EFC的面積占2份列式求解即可得到m的值；②點(diǎn)P在EB上時(shí)，設(shè)EF與y軸的交點(diǎn)為M，根據(jù)△DME的面積占2份列式求出DM的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后求出直線EM的解析式，再與直線BC的解析式聯(lián)立求解即可得到F的坐標(biāo)，然后根據(jù)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等計(jì)算即可求出m的值．

解答：解：（1）聯(lián)立

y=x+5 y=-2x+20

，
解得

x=5 y=10

．
所以，點(diǎn)E（5，10）；

（2）由題意可知B（0，5），C（10，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則

5=b 0=10k+b

，
解得

k=- 1 2 b=5

，
∴直線BC的解析式為y=-

1

2

x+5，
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)（如圖1），
∵P、F、G三點(diǎn)具有相同的縱坐標(biāo)，
∴P（m，m+5），F(xiàn)（-2m，m+5），
∴d=-2m-m=-3m （-5≤m＜0），
②當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上時(shí)（如圖2），
∵P、F、G三點(diǎn)具有相同的縱坐標(biāo)，
∴P（m，m+5），F(xiàn)（-2m，m+5），
∴d=m-（-2m）=3m（0＜m≤5）；

（3）D（0，20），G（

15-m

2

，m+5），F(xiàn)G=

15-m

2

-（-2m）=

15+3m

2

，
S_△DBC=

1

2

DB×OC=

1

2

×15×10=75，
①如圖1，當(dāng)S_△EFC：S_△DBC=2：5時(shí)，S_△EFC=30，
∴S_△EFC=

1

2

×

15+3m

2

×10=30，
∴m=-1，
②如圖2，EF交y軸于點(diǎn)M，當(dāng)S_△DME：S_△DBC=2：5時(shí)，S_△DME=30，
∴DM=12∴M（0，8），
可求直線EM的解析式為y=

2

5

x+8，
∵

y= 2 5 x+8 y=- 1 2 x+5

，
∴

k=- 10 3 b= 20 3

，
∴F（-

10

3

，

20

3

），
∴m+5=

20

3

，
∴m=

5

3

，
∴當(dāng)直線EF把△BCD的面積分成2：3兩部分時(shí)，m的值為-1或

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩直線解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，難點(diǎn)在于要根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P的位置分情況討論．