Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OH⊥AC于H，∠B=30°，過A點的直線與OC的延長線交于點D，∠CAD=30°，AD=10

3

．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若E為⊙O上一動點，連接AE交直線OD于點P，問：是否存在點P，使得PA+PH的值最�。咳舸嬖谇驪A+PH的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OA，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠AOC=2∠B=60°，則可判斷△OAC為等邊三角形，所以∠OAC=60°，則∠OAD=∠CAD+∠OAC=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到AD是⊙O的切線；
（2）在Rt△OAD中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OA=

3

3

AD=10，則AC=OA=10；作弦AF⊥OC，連結(jié)HF交OD于P，延長AP交⊙O于E點，根據(jù)垂徑定理得到OC平分AF，即OC垂直平分AF，則PA=PF，所以PA+PH=PF+PH=HF，根據(jù)兩點之間線段最短得此時PA+PH的值最�。辉倮�用垂徑定理由OH⊥AC得HC=AH=5，F(xiàn)C=AC=10，∠OCF=∠OCA=60°，所以∠HCF=120°，在Rt△HCG中計算出CG=

1

2

HC=

5

2

，HG=

3

CG=

5 3

2

，然后在Rt△HFG中，根據(jù)勾股定理可計算出HF．

解答：（1）證明：連結(jié)OA，如圖，
∵∠AOC=2∠B=2×30°=60°，
∴△OAC為等邊三角形，
∴∠OAC=60°，
而∠CAD=30°，
∴∠OAD=∠CAD+∠OAC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切線；
（2）解：存在．
在Rt△OAD中，∵∠AOD=60°，∠D=30°，
∴OA=

3

3

AD=

3

3

×10

3

=10，
∴AC=OA=10，
作弦AF⊥OC，連結(jié)HF交OD于P，延長AP交⊙O于E點，
∵OC⊥AF，
∴OC平分AF，即OC垂直平分AF，
∴PA=PF，
∴PA+PH=PF+PH=HF，
∴此時PA+PH的值最小，
∵OH⊥AC，
∴HC=AH=5，
∵OC⊥AF，
∴AC弧=FC弧，
∴FC=AC=10，∠OCF=∠OCA=60°，
∴∠HCF=120°，
作HG⊥FC于G，如圖，
在Rt△HCG中，∠HCG=60°，HC=5，
∴CG=

1

2

HC=

5

2

，
HG=

3

CG=

5 3

2

，
在Rt△HFG中，F(xiàn)G=FC+CG=

25

2

，HG=

5 3

2

，
∴HF=

HG2+FG2

=

( 5 3 2 )2+( 25 2 )2

=5

7

，
即PA+PH的最小值為5

7

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．