Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結(jié)AD．

（1）求證：∠DAC=∠DBA；

（2）求證：P是線段AF的中點；

（3）連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長．

　

Answer 1

（1）證明：∵BD平分∠CBA，

∴∠CBD=∠DBA，

∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，

∴∠DAC=∠CBD，

∴∠DAC=∠DBA，

∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，

∴∠ADB=∠AED=90°，

∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，

∴∠ADE=∠DBA，

∴∠DAC=∠ADE，

∴∠DAC=∠DBA；

（2）證明：∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AB于E，

∴∠DEB=90°，

∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，

∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，

∴PD=PA，

∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，

∴∠PDF=∠PFD，

∴PD=PF，

∴PA=PF，即P是線段AF的中點；

（3）解：連接CD，

∵∠CBD=∠DBA，

∴CD=AD，

∵CD﹦3，∴AD=3，

∵∠ADB=90°，

∴AB=5，

故⊙O的半徑為2.5，

∵DE×AB=AD×BD，

∴5DE=3×4，

∴DE=2.4．

即DE的長為2.4．