Question

【題目】如圖，直線l：y＝﹣2x+m與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），拋物線C1：y＝x2+4x+3與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），過點(diǎn)B作BD垂直x軸交直線l于點(diǎn) D．

（1）求m的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F．

①點(diǎn)F的坐標(biāo)為　 　；

②將拋物線C1向右平移使它經(jīng)過點(diǎn)F，此時(shí)得到的拋物線記為C2，直接寫出拋物線C2的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）m＝﹣4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0）；（2）①（0，1）；②y＝x2﹣2x+1或y＝x2+2x+1．

【解析】

（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出m的值，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出BD，AB的值．

①依照題意畫出圖形，由EF＝BD＝2，OF＝AE＝AB＝1可得出點(diǎn)F在y軸正半軸上，進(jìn)而可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②利用配方程法將拋物線C1的表達(dá)式變形為頂點(diǎn)式，根據(jù)平移的性質(zhì)可設(shè)拋物線C2的表達(dá)式為y＝（x+m）2﹣1，由點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線C2的表達(dá)式，此題得解．

解：（1）將A（﹣2，0）代入y＝﹣2x+m，得：0＝﹣2×（﹣2）+m，

解得：m＝﹣4．

當(dāng)y＝0時(shí)，有x2+4x+3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1，

又∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0）．

（2）當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝﹣2x﹣4＝2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，2），

∴BD＝2，AB＝1．

①依照題意畫出圖形，則EF＝BD＝2，OF＝AE＝AB＝1，

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），

∴點(diǎn)F在y軸正半軸上，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）．

②∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，

∴設(shè)平移后得到的拋物線C2的表達(dá)式為y＝（x+m）2﹣1．

將F（0，1）代入y＝（x+m）2﹣1，得：1＝（0+m）2﹣1，

解得：m1＝ ，m2＝﹣，

∴拋物線C2的表達(dá)式為y＝（x﹣）2﹣1或y＝（x+）2﹣1，即y＝x2﹣2x+1或y＝x2+2x+1．