Question

【題目】已知：直線y=ax+b與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為（0，2），同時(shí)這條直線與x軸相交于點(diǎn)A，且相交所成的角為45°．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為__________；

（2）若拋物線與x軸交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊），將此拋物線作關(guān)于y軸對(duì)稱，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，兩拋物線相交于點(diǎn)F，連接NF，EF得△NEF，P是軸對(duì)稱后的拋物線上的點(diǎn)，使得△NEP的面積與△NEF的面積相等，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_________.

Answer 1

【答案】（-2，0）或（2，0） （2，2）或（－1，-2）或（－-1，-2）

【解析】

（1）設(shè)（0，2）為點(diǎn)B，根據(jù)直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及與x軸的相交夾角角度，可知OB=OA=2，即可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，代入直線解析式，求出a，b的值，再代入拋物線的解析式求c的值，根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)求出拋物線的解析式，根據(jù)題意作出關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，求出各個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)三角形的面積公式可知△NEP與△NEF的高相等，由此判斷y的取值，將y代入拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)（0，2）為點(diǎn)B，

則將點(diǎn)B代入直線y=ax+b，解得b=2，

且直線與x軸相交的夾角為45°，

則△AOB為等腰直角三角形，

∴OA=OB=2，

當(dāng)a＞0，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），

當(dāng)a＜0，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）或（2，0）．

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，將A（-2，0），B（0，2）代入直線解析式得，解得，

又∵拋物線過點(diǎn)B（0，2），

∴ c=2，

∴拋物線的解析式為，

∵，

∴拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．

當(dāng)a＜0時(shí)，將A（2，0），B（0，2）代入直線解析式得，解得，

又∵拋物線過點(diǎn)B（0，2），

∴ c=2，

∴拋物線的解析式為，

∵，

∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴拋物線的解析式為．

令y=0，得，解得，，

∵點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0），

此拋物線作關(guān)于y軸對(duì)稱，圖象如下圖所示，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，兩拋物線相交于點(diǎn)F，即點(diǎn)F為點(diǎn)B，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0），

∴NE=－（）=2，OF=2，

∴，

設(shè)使得△NEP的面積與△NEF的面積相等的P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），

由三角形面積公式可知，以NE為底，要使△NEP的面積與△NEF的面積相等，則高一樣，

∴，即．

當(dāng)時(shí)，代入，解得，，

∵（0，2）與點(diǎn)F重合，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，2）；

當(dāng)時(shí)，代入，解得，，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣2）或（，﹣2），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有三個(gè)，其坐標(biāo)分別為（﹣2，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．