【題目】已知:直線y=ax+b與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為(0,2),同時(shí)這條直線與x軸相交于點(diǎn)A,且相交所成的角為45°.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為__________;
(2)若拋物線與x軸交于點(diǎn)M、N(點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊),將此拋物線作關(guān)于y軸對(duì)稱,M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,兩拋物線相交于點(diǎn)F,連接NF,EF得△NEF,P是軸對(duì)稱后的拋物線上的點(diǎn),使得△NEP的面積與△NEF的面積相等,則P點(diǎn)坐標(biāo)為_________.
【答案】(-2,0)或(2,0) (2,2)或(-1,-2)或(--1,-2)
【解析】
(1)設(shè)(0,2)為點(diǎn)B,根據(jù)直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),以及與x軸的相交夾角角度,可知OB=OA=2,即可得點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,代入直線解析式,求出a,b的值,再代入拋物線的解析式求c的值,根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)求出拋物線的解析式,根據(jù)題意作出關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象,求出各個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)三角形的面積公式可知△NEP與△NEF的高相等,由此判斷y的取值,將y代入拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
解:(1)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)(0,2)為點(diǎn)B,
則將點(diǎn)B代入直線y=ax+b,解得b=2,
且直線與x軸相交的夾角為45°,
則△AOB為等腰直角三角形,
∴OA=OB=2,
當(dāng)a>0,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),
當(dāng)a<0,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)或(2,0).
(2)當(dāng)a>0時(shí),將A(-2,0),B(0,2)代入直線解析式得,解得,
又∵拋物線過點(diǎn)B(0,2),
∴ c=2,
∴拋物線的解析式為,
∵,
∴拋物線與x軸沒有交點(diǎn).
當(dāng)a<0時(shí),將A(2,0),B(0,2)代入直線解析式得,解得,
又∵拋物線過點(diǎn)B(0,2),
∴ c=2,
∴拋物線的解析式為,
∵,
∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),
∴拋物線的解析式為.
令y=0,得,解得,,
∵點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,0),
此拋物線作關(guān)于y軸對(duì)稱,圖象如下圖所示,M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,兩拋物線相交于點(diǎn)F,即點(diǎn)F為點(diǎn)B,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,0),
∴NE=-()=2,OF=2,
∴,
設(shè)使得△NEP的面積與△NEF的面積相等的P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),
由三角形面積公式可知,以NE為底,要使△NEP的面積與△NEF的面積相等,則高一樣,
∴,即.
當(dāng)時(shí),代入,解得,,
∵(0,2)與點(diǎn)F重合,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,2);
當(dāng)時(shí),代入,解得,,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,﹣2)或(,﹣2),
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P共有三個(gè),其坐標(biāo)分別為(﹣2,2)或(,﹣2)或(,﹣2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn),點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,且PE=PB,PE與DC交于點(diǎn)O.
(基礎(chǔ)探究)
(1)求證:PD=PE.
(2)求證:∠DPE=90°
(3)(應(yīng)用拓展)把正方形ABCD改為菱形,其他條件不變(如圖),若PE=3,則PD=________;
若∠ABC=62°,則∠DPE=________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=12cm,點(diǎn)D從點(diǎn)A開始沿邊AB以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng),移動(dòng)過程中始終保持DE∥BC,DF∥AC,
求:出發(fā)幾秒時(shí),四邊形DFCE的面積為20cm2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.
(1)求m的值;
(2)先作的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形,然后將所作圖形向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,寫出變化后圖象的解析式;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)直線y=2x+n(n≥m)與變化后的圖象有公共點(diǎn)時(shí),求的最大值和最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“校園安全”受到全社會(huì)的廣泛關(guān)注,東營(yíng)市某中學(xué)對(duì)部分學(xué)生就校園安全知識(shí)的了解程度,采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有_______人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基本了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為_______°;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該中學(xué)共有學(xué)生900人,請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該中學(xué)學(xué)生中對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù);
(4)若從對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“了解”程度的3個(gè)女生和2個(gè)男生中隨機(jī)抽取2人參加校園安全知識(shí)競(jìng)賽,請(qǐng)用樹狀圖或列表法求出恰好抽到1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系△ABC是格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上)
(1)先作△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A1B1C1,再把△A1B1C1向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A2B2C2;
(2)△A2B2C2與△ABC是否關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱?若是,直接寫出對(duì)稱中心的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l:y=﹣2x+m與x軸交于點(diǎn)A(﹣2,0),拋物線C1:y=x2+4x+3與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)),過點(diǎn)B作BD垂直x軸交直線l于點(diǎn) D.
(1)求m的值和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F.
①點(diǎn)F的坐標(biāo)為 ;
②將拋物線C1向右平移使它經(jīng)過點(diǎn)F,此時(shí)得到的拋物線記為C2,直接寫出拋物線C2的表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市銷售一種商品,成本價(jià)為20元/千克,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,每天銷售量y(千克)與銷售單價(jià)x(元千克)之間的關(guān)系如圖所示,規(guī)定每千克售價(jià)不能低于30元,且不高于80元.
(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果該超市銷售這種商品每天獲得3900元的利潤(rùn),那么該商品的銷售單價(jià)為多少元?
(3)設(shè)每天的總利潤(rùn)為w元,當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),該超市每天的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)C(0,5),另拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,8),M為它的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求△MCB的面積.
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