Question

如圖，把一塊含60°的三角尺ACB與邊長為2的正方形ACFG按如圖所示重疊在一起，∠B=30°．若把三角尺繞直角頂點C按順時針方向旋轉，使斜邊AB恰好經(jīng)過正方形ACFG的頂點F，得△PCN，PC，PN交AB于D、E．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）△ACB至少旋轉多少度才能得到△PCN？請通過計算說明理由；
（3）試求出△ACB與△PCN的重疊部分（即四邊形CDEF）的面積（精確到0.01）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解；
（2）旋轉角度即∠ACP．根據(jù)旋轉的性質有∠P=∠BAC=60°，CP=CA=CF．所以△PCF為等邊三角形，∠PCF=60°．故可求旋轉角度．
（3）S_陰影部分=S_△PCF-S_△PDE．已知等邊三角形的邊長，易求其面積；根據(jù)題意△PDE為直角三角形，其面積=DE×PD．而PD=PC-CD，CD可在Rt△ACD中運用三角函數(shù)計算．
解答：解：（1）∠BAC=90°-30°=60°．

（2）∵AC=CP=CF，又∠CPN=∠CAB=60°，
∴△PCF是等邊三角形．
∴∠PCF=60°．
∴∠ACP=90°-∠PCF=30°，即△ABC旋轉30°時，得到△PCN．

（3）在△ACD中，∠ACD=30°，∠BAC=60°，
∴∠ADC=90°，AD=AC=1，CD=AC•Sin60°=，
∴PD=2-，
DE=PD•tan60°=2-3．
∴△PDE的面積為：PD•DE=．
又∵S_△PCF=CF•CP•sin60°=，
∴四邊形DCFE的面積為：-（）≈1.67．
點評：此題考查旋轉圖形的性質及陰影面積的計算，綜合性較強，難度較大．