Question

如圖，把一塊含60°的三角尺ACB與邊長(zhǎng)為2的正方形ACFG按如圖所示重疊在一起，∠B=30°．若把三角尺繞直角頂點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使斜邊AB恰好經(jīng)過正方形ACFG的頂點(diǎn)F，得△PCN，PC，PN交AB于D、E．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）△ACB至少旋轉(zhuǎn)多少度才能得到△PCN？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由；
（3）試求出△ACB與△PCN的重疊部分（即四邊形CDEF）的面積（精確到0.01）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解；
（2）旋轉(zhuǎn)角度即∠ACP．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有∠P=∠BAC=60°，CP=CA=CF．所以△PCF為等邊三角形，∠PCF=60°．故可求旋轉(zhuǎn)角度．
（3）S_陰影部分=S_△PCF-S_△PDE．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)，易求其面積；根據(jù)題意△PDE為直角三角形，其面積=

1

2

DE×PD．而PD=PC-CD，CD可在Rt△ACD中運(yùn)用三角函數(shù)計(jì)算．

解答：解：（1）∠BAC=90°-30°=60°．

（2）∵AC=CP=CF，又∠CPN=∠CAB=60°，
∴△PCF是等邊三角形．
∴∠PCF=60°．
∴∠ACP=90°-∠PCF=30°，即△ABC旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，得到△PCN．

（3）在△ACD中，∠ACD=30°，∠BAC=60°，
∴∠ADC=90°，AD=

1

2

AC=1，CD=AC•Sin60°=

3

，
∴PD=2-

3

，
DE=PD•tan60°=2

3

-3．
∴△PDE的面積為：

1

2

PD•DE=

7

2

3

-6．
又∵S_△PCF=

1

2

CF•CP•sin60°=

3

，
∴四邊形DCFE的面積為：

3

-（

7

2

3

-6）≈1.67．

點(diǎn)評(píng)：此題考查旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)及陰影面積的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)，難度較大．