Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是CB，AB的中點，連接CF并延長，與DA的延長線交于點M，連接DE交CF于點P，連接AP，則有下列結論：①∠BCF＝∠CDE；②AP＝AD：③CM＝CD+DE；④S△CDM＝5S四邊形EPFB，其中正確的結論有（　�。�

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據正方形的性質，即可得∠DCE=∠B=90°，CD=BC=AB，又由E、F分別是CB，AB的中點，利用SAS即可判定△DCE≌△CBF，根據全等三角形的對應邊相等，即可判定①正確；根據全等三角形對應角相等，即可得DE⊥CF，再利用ASA證得△BCF≌△AMF，即可得到AD=AM，然后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可判定②正確；由△DCE≌△CBF，可得CF=DM，根據直角三角形的性質，可得FM＞AM，即FM＞CD，可判定③錯誤；利用相似三角形的性質：相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可判定④正確．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DCE＝∠B＝90°，CD＝BC＝AB，

∵E、F分別是CB，AB的中點，

∴BF＝AB，CE＝BC，

∴BF＝CE，

∴△DCE≌△CBF（SAS），

∴∠BCF＝∠CDE，

故①正確；

∵∠CDE+∠CEP＝90°，

∴∠BCF+∠CEP＝90°，

∴∠CPE＝90°，

即CF⊥DE，

∵BF＝AF，∠B＝∠BAM＝90°，∠BFC＝∠AFM，

∴△BCF≌△AMF（ASA），

∴AM＝BC，

∴AD＝AM，

∴AP＝AD，

故②正確；

∵△DCE≌△CBF，

∴CF＝DE，

∵∠FAM＝90°，

∴FM＞AM，

即FM＞CD，

∴CM＝CF+FM＝DE+FM＞CD+DE；

故③錯誤；

設CE＝a，S△CDM＝b，則BC＝2a，AB＝AD＝AM＝CD＝2a，BF＝AF＝a，

∴MD＝AD+AM＝4a，

∴CF＝，

∵∠BCF＝∠PCE，∠B＝∠CPE＝90°，

∴△CPE∽△CBF，

∴，

∴S△CDM＝5b，

∴S四邊形EPFB＝4b，

∵BC∥AD，

∴△CPE∽△MPD，

∴，

∴S△MPD＝16b，

∵，

∴S△CPD＝4b，

∴S△CDM＝S△CPD+S△MPD＝4b+16b＝20b，

∴S△CDM＝5S四邊形EPFB．

故④正確．

∴其中正確的結論有①②④．

故選：C．