【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點,B點的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,-3),點P是直線BC下方拋物線上的一個動點.

(1)求二次函數(shù)解析式;

(2)連接PO,PC,并將POC沿y軸對折,得到四邊形.是否存在點P,使四邊形為菱形?若存在,求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

(3)當(dāng)點P運動到什么位置時,四邊形ABPC的面積最大?求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

【答案】解:(1)將B、C兩點的坐標(biāo)代入,得

, 解得

二次函數(shù)的解析式為。

(2)存在。如圖1,假設(shè)拋物線上存在點P,使四邊形為菱形,連接交CO于點E。

四邊形為菱形, KPC=PO,且PECO。

OE=EC=,即P點的縱坐標(biāo)為。

(不合題意,舍去)。

存在這樣的點,此時P點的坐標(biāo)為(,。

(3)如圖2,連接PO,作PMx于M,PNy于N。設(shè)P點坐標(biāo)為(x,),

=0,得點A坐標(biāo)為(-1,0)。

AO=1,OC=3, OB=3,PM=,PN=x。

S四邊形ABPC=++

=AO·OC+OB·PM+OC·PN

=×1×3+×3×()+×3×x

==。

當(dāng)x=時,四邊形ABPC的面積最大.此時P點坐標(biāo)為(,),四邊形ABPC的最大面積為。

【解析】

試題(1)直接把B(3,0)、C(0,-3)代入可得到關(guān)于b、c的方程組,解方程組求得b,c,則從而求得二次函數(shù)的解析式。

(2)假設(shè)拋物線上存在點P,使四邊形為菱形,連接交CO于點E,則PO=PC,根據(jù)翻折的性質(zhì)得OP′=OP,CP′=CP,易得四邊形POP′C為菱形,又E點坐標(biāo)為(0, ),則點P的縱坐標(biāo)為,把y=

代入可求出對應(yīng)x的值,然后確定滿足條件的P點坐標(biāo)。

(3)由S四邊形ABPC=++求出S四邊形ABPC關(guān)于P點橫坐標(biāo)的函數(shù)表達式,應(yīng)用二次函數(shù)的最值原理求解。

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求:(1DE的長;

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1)設(shè)有名老師,求801班師生從余姚到紹興的城際列車總費用關(guān)于的函數(shù)表達式.

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楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1,其余每個數(shù)為它的上方(左右)兩數(shù)之和.事實上,這個三角形給出了n=1,2,3,4,5,6)的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律. 例如,在三角形中第三行的三個數(shù)1,21,恰好對應(yīng)著展開式中各項的系數(shù);第四行的四個數(shù)1,3,3,1,恰好對應(yīng)著展開式中各項的系數(shù),等等.

1)當(dāng)n=4時,的展開式中第3項的系數(shù)是_________;

2)人們發(fā)現(xiàn),當(dāng)n是大于6的自然數(shù)時,這個規(guī)律依然成立,那么的展開式中各項的系數(shù)的和為_________

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