Question

已知ABCD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上，過(guò)點(diǎn)P分

別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE＝PF．

（1）如圖，若PE＝，EO＝1，求∠EPF的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF ＝BC＋3－4，求BC的長(zhǎng)．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）60°（2）4

【解析】解：（1）連接PO ,

 

 

∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，

∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）。

∴∠EPO＝∠FPO。

在Rt△PEO中， tan∠EPO＝＝，

∴ ∠EPO＝30°�！� ∠EPF＝60°。

（2）∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，∴ AP＝DP。

 

 

又∵ PE＝PF，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）。

∴∠OAD＝∠ODA�！� OA＝OD。

∴ AC＝2OA＝2OD＝BD�！�ABCD是矩形。 

∵ 點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，∴ AO∥PF。

∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD�！�ABCD是菱形�！�ABCD是正方形。

∴ BD＝BC。

∵ BF＝BD，∴BC＋3－4＝BC，解得，BC＝4。

（1）連接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠FPO=∠EPO，從而得解。

（2）根據(jù)條件證出 ABCD是正方形。根據(jù)正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系列式計(jì)算即可得解。