Question

三個牧童A、B、C在一塊正方形的牧場上看守一群牛，為保證公平合理，他們商量將牧場劃分為三塊分別看守，劃分的原則是：①每個人看守的牧場面積相等；②在每個區(qū)域內(nèi)，各選定一個看守點，并保證在有情況時他們所需走的最大距離（看守點到本區(qū)域內(nèi)最遠(yuǎn)處的距離）相等．按照這一原則，他們先設(shè)計了一種如圖1的劃分方案：把正方形牧場分成三塊相等的矩形，大家分頭守在這三個矩形的中心（對角線交點），看守自己的一塊牧場．過了一段時間，牧童B和牧童C又分別提出了新的劃分方案．牧童B的劃分方案如圖2：三塊矩形的面積相等，牧童的位置在三個小矩形的中心．牧童C的劃分方案如圖3：把正方形的牧場分成三塊矩形，牧童的位置在三個小矩形的中心，并保證在有情況時三個人所需走的最大距離相等．請回答：
（1）牧童B的劃分方案中，牧童

 

（填A(yù)、B或C）在有情況時所需走的最大距離較遠(yuǎn)；
（2）牧童C的劃分方案是否符合他們商量的劃分原則，為什么？（提示：在計算時可取正方形邊長為2）

Answer 1

分析：（1）易得A，B的距離相等，設(shè)正方形的邊長為1，他們到最遠(yuǎn)處的距離為這個直角三角形斜邊的一半，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算可得C的距離最大；
（2）分別計算A，C的面積比較它們是否相等作出判斷．

解答：解：（1）C；

（2）牧童C的劃分方案不符合他們商量的劃分原則．
理由如下：如圖，在正方形DEFG中，四邊形HENM、MNFP、DHPG都是矩形，且HN=NP=HG．
HE=PF，∠E=∠F=90°，
∴Rt△HEN≌Rt△PFN，
∴EN=NF，S_矩形HENM=S_矩形MNFP．
取正方形邊長為2，設(shè)HD=x，則HE=2-x．
在Rt△HEN和Rt△DHG中．
由HN=HG得：EH²+EN²=DH²+DG²．
即：（2-x）²+1²=x²+2²．
解得：x=

1

4

．
∴HE=2-

1

4

=

7

4

．
∴S_矩形HENM=S_矩形MNFP=1×

7

4

=

7

4

，S_矩形DHPG=2×

1

4

=

1

2

．
∴S_矩形HENM≠S_矩形DHPG．
∴牧童C的劃分方案不符合他們商量的劃分原則．

點評：根據(jù)滿足的條件找到線段之間的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理以及面積公式進(jìn)行計算．