Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC分別與⊙O 相切于點(diǎn)A，C，PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。

（1）求證：∠EPD=∠EDO

（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的長(zhǎng)。

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】解：（1）證明：∵PA，PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C，

∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO�！唷螾AO=90°。

∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO。

∴∠EPD=∠EDO。

（2）連接OC，

∵PA，PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C，PC=6，∴PA=PC=6。

∵tan∠PDA=，∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10。

∴CD=4。

∵tan∠PDA=，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5。

∵∠EPD=∠DEP，∴△OED∽△DEP。

∴，即DE=2OE。

在Rt△OED中，，即，

∴OE=。

（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)即可證明：∠EPD=∠EDO；。

（2）連接OC，利用tan∠PDA=，可求出CD=4，再證明△OED∽△DEP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出OE的長(zhǎng)。