Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC⊥BD于點(diǎn)E，連按OA、OD，OA交BD于點(diǎn)F．

（1）如圖1，求證：∠BAC=∠OAD；

（2）如圖2，當(dāng)AC=CD肘，求證：AB=BF；

（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)BD=11，AF=時(shí)．求OF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）

【解析】試題分析：（1）如圖1中，延長(zhǎng)AO交⊙O于M，連接CM．只要證明CM∥BD，推出∠1=∠2，推出，推出∠BAC=∠DAO．
（2）由∠BAC=∠DAO，推出∠BAF=∠CAD，由CA=CD，所以∠CAD=∠CDA，由∠1=∠B，∠B+∠BAF+∠AFB=180°，∠1+∠CAD+∠ADC=180°，推出∠BAF=∠ADC=∠CAD=∠BAF，即可證明．
（3）如圖3中，連接OB、DM．設(shè)BA=BF=x，⊙O的半徑為r．由△ABF∽△AOB，推出，得x2=2r ①，由△ABF∽△DMF，推出，得x（11-x）=2（2r-2） ②，由①②解方程組即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）證明：如圖1中，延長(zhǎng)AO交⊙O于M，連接CM．

∵AM是直徑，
∴∠ACM=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠ACM=90°，
∴CM∥BD，
∴∠1=∠2，
∴，
∴∠BAC=∠DAO．
（2）證明：如圖2中，

∵∠BAC=∠DAO，
∴∠BAF=∠CAD，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠1=∠B，∠B+∠BAF+∠AFB=180°，∠1+∠CAD+∠ADC=180°，
∴∠BAF=∠ADC=∠CAD=∠BAF，
∴BA=BF．
（3）解：如圖3中，連接OB、DM．設(shè)BA=BF=x，⊙O的半徑為r．

∵OB=OA，
∴∠OAB=∠OBA=∠BAF，
∴△ABF∽△AOB，
∴，
∴x2=2r ①，
∵∠ABF=∠M，∠AFB=∠DFM，
∴△ABF∽△DMF，
∴，
∴x（11-x）=2（2r-2） ②，
由①②可得x=5，r=，
∴OF=r-AF=-2=．