Question

如圖（1），AB是半徑為R的⊙O的一條弦，點P是⊙O上任意一點（與A、B不重合）若R=2，AB=
（1）若點P在⊙O優(yōu)弧AB上，AP、BP分別與以AB為直徑的圓交于C、D點
①請利用圖（1）求∠APB的度數(shù)．
②請利用圖（2）求CD的長．
（2）若點P是⊙O劣弧AB上一點，如圖（3）AP、BP的延長線分別交以AB為直徑的圓于C、D，你還能求出CD的長嗎？若能，請求出CD的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）①連接OA，OB，過點O作OE⊥AB于E，
∵AB=
∴OE=
∵OA=2
∴sin∠AOE=
∴∠AOE=60°
∴∠AOB=120°
∴∠APB=60°；

②設AB的中點，即圓心是M，連接CM，DM，
由①可知∠P=60°
∴∠A+∠B=120°
∵∠ACM=∠A，∠B=∠BDM
∴∠AMC+∠BMD=360°-240°=120°
∴∠CMD=180°-120°=60°
∴△CMD是等邊三角形
∵AB=2
∴CD=CM=DM=AB=；

（2）設AB的中點，即圓心是M，連接CM，DM，
由（1）可知∠APB=180°-60°=120°
∴∠CDB+∠DCA=60°
∴∠AMD+∠CMB=120°
∴∠CDM=180°-120°=60°
同（1）②可得CD=CM=DM=AB=．
分析：（1）①連接OA，OB，過點O作OE⊥AB于E，在構造的直角三角形中可求出sin∠AOE=，即∠AOE=60°，求得∠P對應的圓心角的度數(shù)是120°，從而可求得∠P的值是60°．
②設AB的中點，即圓心是M，連接CM，DM，先根據(jù)三角形的內角和定理求出∠A+∠B=120°，∠CMD=180°-120°=60°，判定△CMD是等邊三角形，即可求得CD的值；
（2）設AB的中點，即圓心是M，連接CM，DM，先根據(jù)同弧所對的圓心角等于所對的圓周角的2倍可得∠AMD+∠CMB=120°，再求得∠CDM=180°-120°=60°，同（1）②可得CD=CM=DM=AB．
點評：主要考查了相交兩圓的性質和圓內接四邊形的性質．當有60°角存在時作圓的半徑構造等邊三角形是常用的輔助線方法之一．要靈活的運用圓的有關基本性質，通過找到CD所對的圓心角的度數(shù)是個定值60°來判斷CD的長也是個定值求得CD的長是本題中的難點．