Question

如圖，正方形ABCD中，AB=4，AE=1，點P是對角線BD上一動點，當△APE的周長最小時，過B，P，E三點的圓的直徑為

 

．

Answer 1

考點：三角形的外接圓與外心,正方形的性質(zhì),軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：連接AC，由正方形的性質(zhì)可知A和C關(guān)于BD對稱，再連接CE交BD為P，則此時三角形APE的周長最小，求出P的坐標，即可求出答案．

解答：解：連接AC，連接CE交BD為P，如圖所示建立平面直角坐標系，過P作PN⊥x軸于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴直線BD是正方形的一條對稱軸，
∴此時三角形APE的周長最小，
∵AE=1，AB=BC=4，
∴BE=3，
由題意知：C（0，4），B（0，0），D（-4，4），E（-3，0），
設(shè)P的坐標為（x，y），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx，
把D（-4，4）代入得：4=-4k，
解得：k=-1，
即y=-x，
∴∠PBA=45°，∠BPN=45°，
∴BN=PN，
作BM⊥PB交圓于M，
則PM為圓的直徑，
∠MBN=∠NMB=45°，
∴PM=2PN，
設(shè)直線CE的解析式是y=ax+c，
把C（0，4），E（-3，0）代入得：

4=c 0=-3a+c

，
解得：a=

4

3

，c=4，
即直線CE的解析式是y=

4

3

x+4，
解方程組

y=-x y= 4 3 x+4

得：

x=- 12 7 y= 12 7

，
即P的坐標是（-

12

7

，

12

7

），
∴PN=

12

7

，
∴PM=2PN=

24

7

，
故答案為：

24

7

．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對稱-最短路線問題，正方形性質(zhì)，圓周角定理等知識點的應(yīng)用，題目比較好，但是難度偏大．